《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

9. 如图,$AC= BC$,$\angle ACB= 90^{\circ}$,点$D为BC$的中点,$BE\perp BC$,$CE\perp AD$,垂足分别为$B$,$G$,那么$AD= CE$,$BD= BE$。这两个结论是否正确？为什么？

答案： 解:这两个结论都是正确的.理由如下:
方法一:因为∠ACB=90°,CE⊥AD,所以∠ECB+∠ACG=90°,∠ACG+∠DAC=90°.所以∠ECB=∠DAC.又因为∠ACB=∠CBE=90°,AC=BC,所以△ACD≌△CBE(ASA).所以AD=CE,CD=BE.又因为D为BC的中点,所以CD=BD,所以BD=BE.
方法二:因为CE⊥AD,所以∠ADC+∠BCE=90°.又因为BE⊥BC,所以∠EBC=90°.所以∠CEB+∠BCE=90°.所以∠ADC=∠CEB.又因为∠ACB=∠CBE=90°,AC=BC,所以△ACD≌△CBE(AAS).所以AD=CE,CD=BE.又因为D是BC的中点,所以CD=BD,所以BD=BE.

10. 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= BC$,直线$MN经过点C$,且$AD\perp MN于点D$,$BE\perp MN于点E$。
(1)当直线$MN绕点C$旋转到图①的位置时,求证：①$\triangle ADC\cong\triangle CEB$；②$DE= AD+BE$。
(2)当直线$MN绕点C$旋转到图②的位置时,求证：$DE= AD-BE$。
(3)当直线$MN绕点C$旋转到图③的位置时,$DE$,$AD$,$BE$具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并说明理由。

答案：
(1)证明:①因为∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,所以∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCE=90°.所以∠CAD=∠BCE.因为AC=BC,所以△ADC≌△CEB(AAS).
②由①,知△ADC≌△CEB,所以AD=CE,CD=BE.所以DE=CE+CD=AD+BE.
(2)证明:因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,所以∠ACD=∠CBE.又因为AC=BC,所以△ACD≌△CBE(AAS).所以AD=CE,CD=BE,所以DE=CE−CD=AD−BE.
(3)解:DE=BE−AD(或AD=BE−DE,BE=AD+DE).理由如下:因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,所以∠ACD=∠CBE.又因为AC=BC,所以△ACD≌△CBE(AAS).所以AD=CE,CD=BE,所以DE=CD−CE=BE−AD.