《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

7. 在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$∠A$，$∠B$，$∠C$所对的边长分别为 a，b，c.
(1)$b=24$，$c=a+4$，求 a，c 的值.
a=70，c=74.
(2) 若$a=15$，$c=19$，求$△ABC$的面积.
$△ABC$的面积为$15\sqrt{34}$.

答案： 解：
(1) 根据勾股定理，得 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
因为 $c=a+4$，所以 $(a+4)^{2}=a^{2}+24^{2}$，即 $a^{2}+8a+16=a^{2}+576$，解得 $a=70$.
所以 $c=74$.
(2) 根据勾股定理，得 $b^{2}=c^{2}-a^{2}=19^{2}-15^{2}=136$，所以 $b=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$.
所以 $\triangle ABC$ 的面积 $=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×15×2\sqrt{34}=15\sqrt{34}$.

8. 我方侦察员小王在距离东西向公路 400 m 的 A 处侦察，发现一辆敌方汽车在一段笔直的公路 BC 上行驶 (如图 4). 他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车与他相距400 m，10 s 后，汽车与他相距 500 m. 你能帮小王计算出敌方汽车行驶的速度吗?

解：由已知，得 $∠ACB=90^{\circ}$.
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC=400m$，$AB=500m$，由勾股定理，得 $500^{2}=BC^{2}+400^{2}$，所以 $BC=300m$.
敌方汽车 $1h$ 行驶的路程为 $300×(60÷10)×60=108000(m)$，所以敌方汽车行驶的速度为108km/h.

答案： 解：由已知，得 $∠ACB=90^{\circ}$.
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC=400m$，$AB=500m$，由勾股定理，得 $500^{2}=BC^{2}+400^{2}$，所以 $BC=300m$.
敌方汽车 $1h$ 行驶的路程为 $300×(60÷10)×60=108000(m)$，所以敌方汽车行驶的速度为 $108km/h$.

9. 如图 5，一架云梯 AB 长 25 米，顶端 A 靠在墙上，这时云梯下端 B 与墙角 E 之间的距离为7 米，云梯下滑后停在 CD 的位置上，测得 DB 的长为 8 米，那么云梯顶端 A下滑了4米?

答案： 解：由题意，知 $∠AEB=90^{\circ}$.
在 $Rt\triangle ABE$ 中，$AE^{2}+7^{2}=25^{2}$，则 $AE=24$；
在 $Rt\triangle CDE$ 中，$CE^{2}+(7+8)^{2}=25^{2}$，则 $CE=20$.
$AC=24 - 20 = 4$ (米)，所以云梯顶端 $A$ 下滑了 $4$ 米.