《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

6. 如图 6，在 $\triangle A B C$ 中，$A B = A C$，$AD$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线，$O$ 为 $AC$ 的中点，连接 $DO$ 并延长到点 $E$，使 $O E = O D$，连接 $AE$，$CE$.
(1) 试判断四边形 $ADCE$ 的形状，并证明你的结论；
四边形 $ADCE$ 的形状为矩形。
(2) 当 $\triangle A B C$ 满足什么条件时，矩形 $ADCE$ 是正方形，并说明理由.
当 $\triangle A B C$ 满足$\angle BAC = 90^{\circ}$时，矩形 $ADCE$ 是正方形。

答案： 解：
(1) 四边形 $ ADCE $ 为矩形。
理由：因为 $ O $ 为 $ AC $ 的中点，所以 $ OA = OC $。
又 $ OE = OD $，所以四边形 $ ADCE $ 为平行四边形。
因为 $ AB = AC $，$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线，所以 $ AD \perp BC $，则 $ \angle ADC = 90^{\circ} $。
所以 $ \square ADCE $ 为矩形。
(2) 在 $ \triangle ABC $ 中，当 $ \angle BAC = 90^{\circ} $ 时，四边形 $ ADCE $ 为正方形。
理由：在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，所以 $ AD = CD $。所以矩形 $ ADCE $ 为正方形。

7. 如图 7，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是 $BD$ 延长线上的点，且 $\triangle ACE$ 是等边三角形.
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
证明：因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AO=CO$。又因为 $\triangle ACE$ 是等边三角形，所以 $EO\perp AC$，即 $DB\perp AC$。所以 $□ABCD$ 是菱形。
(2) 若 $\angle AED=2\angle EAD$，求证：四边形 $ABCD$ 是正方形.
证明：因为 $\triangle ACE$ 是等边三角形，所以 $\angle AEC=60^{\circ}$。因为 $EO\perp AC$，所以 $\angle AEO=\frac{1}{2}\angle AEC=30^{\circ}$。因为 $\angle AED=2\angle EAD$，所以 $\angle EAD=15^{\circ}$。所以 $\angle ADO=\angle EAD+\angle AED=45^{\circ}$。因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以 $\angle ADC=2\angle ADO=90^{\circ}$。所以四边形 $ABCD$ 是正方形。

答案：
(1) 证明：因为四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，所以 $ AO = CO $。
又因为 $ \triangle ACE $ 是等边三角形，所以 $ EO \perp AC $，即 $ DB \perp AC $。
所以 $ \square ABCD $ 是菱形。
(2) 解：因为 $ \triangle ACE $ 是等边三角形，所以 $ \angle AEC = 60^{\circ} $。
因为 $ EO \perp AC $，所以 $ \angle AEO = \frac{1}{2} \angle AEC = 30^{\circ} $。
因为 $ \angle AED = 2 \angle EAD $，所以 $ \angle EAD = 15^{\circ} $。
所以 $ \angle ADO = \angle EAD + \angle AED = 45^{\circ} $。
因为四边形 $ ABCD $ 是菱形，所以 $ \angle ADC = 2 \angle ADO = 90^{\circ} $。
所以四边形 $ ABCD $ 是正方形。