《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

9. 如图 7，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 在对角线 $BD$ 上，且 $BE = DF$.
求证：(1) $AE = CF$；
(2) 四边形 $AECF$ 是平行四边形.
证明：(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB // CD$.
所以$∠ABE = ∠CDF$.
又因为$BE = DF$，所以$△ABE ≌ △CDF$. 所以$AE = CF$.
(2) 由 (1) 知$△ABE ≌ △CDF$，所以$∠BAE = ∠DCF$.
又因为$∠ABE = ∠CDF$，所以$∠ABE + ∠BAE = ∠CDF + ∠DCF$.
因为$∠AEF = ∠ABE + ∠BAE$，$∠CFE = ∠CDF + ∠DCF$，所以$∠AEF = ∠CFE$. 所以$AE // CF$.
又因为$AE = CF$，所以四边形$AECF$是平行四边形.

答案： 证明：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB // CD$.
所以$∠ABE = ∠CDF$.
又因为$BE = DF$，所以$△ABE ≌ △CDF$. 所以$AE = CF$.
(2) 由
(1) 知$△ABE ≌ △CDF$，所以$∠BAE = ∠DCF$.
又因为$∠ABE = ∠CDF$，所以$∠ABE + ∠BAE = ∠CDF + ∠DCF$.
因为$∠AEF = ∠ABE + ∠BAE$，$∠CFE = ∠CDF + ∠DCF$，所以$∠AEF = ∠CFE$. 所以$AE // CF$.
又因为$AE = CF$，所以四边形$AECF$是平行四边形.

1. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成图 1 所示的四块，为了能在商店配到一块与原来形状相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是 (D)

A. ①和②
B. ①和④
C. ③和④
D. ②和③

答案： D

2. 如图 2，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 3$，$BC = 4$，$AC = 2$，$D$，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$BC$，$AC$ 的中点，连接 $DF$，$FE$，则四边形 $DBEF$ 的周长是 (B)

A. 5
B. 7
C. 9
D. 11

答案： B