《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

8. 如图7，在▱ABCD中，$O$是对角线$AC$，$BD$的交点，$BE⊥AC$，$DF⊥AC$，垂足分别为$E$，$F$. 请问：$OE$与$OF$是否相等？说明理由.
解：$OE$与$OF$相等。
理由：因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $OB = OD$。
因为 $BE\perp AC$，$DF\perp AC$，所以 $\angle BEO=\angle DFO = 90^{\circ}$。
又因为 $\angle BOE=\angle DOF$，所以 $\triangle BOE\cong\triangle DOF$。所以 $OE = OF$。

答案： 解：$OE = OF$。
理由：因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $OB = OD$。
因为 $BE\perp AC$，$DF\perp AC$，所以 $\angle BEO=\angle DFO = 90^{\circ}$。
又因为 $\angle BOE=\angle DOF$，所以 $\triangle BOE\cong\triangle DOF$。所以 $OE = OF$。

9. 如图8，在▱ABCD中，$∠BAD = 32^{\circ}$，分别以$BC$，$CD$为边向外作$\triangle BCE$和$\triangle DCF$，使$BE = BC$，$DF = DC$，$∠EBC = ∠CDF$，延长$AB$，交边$EC$于点$H$，连接$AE$，$AF$.
（1）求证：$\triangle ABE≌\triangle FDA$；
（2）当$AE⊥AF$时，求$∠EBH$的度数.

（1）证明：因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AD = BC$，$AB = CD$，$\angle ABC=\angle ADC$。
因为 $BE = BC$，$DF = DC$，$\angle EBC=\angle CDF$，所以 $AB = FD$，$EB = AD$，$\angle ABE=\angle FDA$。
所以 $\triangle ABE≌\triangle FDA$（SAS）。
（2）解：因为 $\triangle ABE\cong\triangle FDA$，所以 $\angle AEB=\angle DAF$。
因为 $AE\perp AF$，$\angle BAD = 32^{\circ}$，所以 $\angle EAB+\angle DAF = 90^{\circ}-\angle BAD = 58^{\circ}$。
所以 $\angle EBH=\angle EAB+\angle AEB=\angle EAB+\angle DAF =$58°。

答案：
(1) 证明：因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AD = BC$，$AB = CD$，$\angle ABC=\angle ADC$。
因为 $BE = BC$，$DF = DC$，$\angle EBC=\angle CDF$，所以 $AB = FD$，$EB = AD$，$\angle ABE=\angle FDA$。
所以 $\triangle ABE\cong\triangle FDA$。
(2) 解：因为 $\triangle ABE\cong\triangle FDA$，所以 $\angle AEB=\angle DAF$。
因为 $AE\perp AF$，$\angle BAD = 32^{\circ}$，所以 $\angle EAB+\angle DAF = 90^{\circ}-\angle BAD = 58^{\circ}$。
所以 $\angle EBH=\angle EAB+\angle AEB=\angle EAB+\angle DAF = 58^{\circ}$。