《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

2. 在一次数学活动中，小鑫将一副直角三角尺按图2所示放置，已知点$A$，$B$，$D$在同一条直线上，且$EF// AD$，$∠BAC=∠EDF=90^{\circ}$，$∠C=45^{\circ}$，$∠E=60^{\circ}$，若$DE=12$，求$BD$的长.

答案：
解：如图 2 所示，过点 $ F $ 作 $ F H \perp A B $ 于点 $ H $，则 $ \angle F H B = 90 ^ { \circ }$.
因为 $ \angle E D F = 90 ^ { \circ }$，$ \angle E = 60 ^ { \circ }$，所以 $ \angle E F D = 30 ^ { \circ }$.
所以 $ E F = 2 D E = 24$. 所以 $ D F = \sqrt { E F ^ { 2 } - D E ^ { 2 } } = 12 \sqrt { 3 }$.
因为 $ E F // A D $，所以 $ \angle F D A = \angle D F E = 30 ^ { \circ }$.
所以 $ F H = \frac { 1 } { 2 } D F = 6 \sqrt { 3 }$. 所以 $ D H = \sqrt { D F ^ { 2 } - F H ^ { 2 } } = 18$.
因为 $ \triangle A B C $ 为等腰直角三角形，所以 $ \angle A B C = 45 ^ { \circ }$. 所以 $ \angle H F B = 90 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ }$.
所以 $ \angle A B C = \angle H F B $. 所以 $ B H = F H = 6 \sqrt { 3 }$，则 $ B D = D H - B H = 18 - 6 \sqrt { 3 }$.

3. 张老师在一次“探究学习”课中，设计了下表：
| $n$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a$ | $2^{2}-1$ | $3^{2}-1$ | $4^{2}-1$ | $5^{2}-1$ | $\cdots$ |
| $b$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ | $\cdots$ |
| $c$ | $2^{2}+1$ | $3^{2}+1$ | $4^{2}+1$ | $5^{2}+1$ | $\cdots$ |
(1)请你分别观察$a$，$b$，$c$与$n$之间的关系，并用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示：$a=$$n^{2}-1$，$b=$$2n$，$c=$$n^{2}+1$.
(2)以$a$，$b$，$c$为边的三角形是直角三角形吗？请说明理由.

答案： 解：
(1) $ n ^ { 2 } - 1$ $ 2 n$ $ n ^ { 2 } + 1$
(2) 以 $ a$，$ b$，$ c$ 为边的三角形是直角三角形.
理由：因为 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( n ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 n ) ^ { 2 } = n ^ { 4 } - 2 n ^ { 2 } + 1 + 4 n ^ { 2 } = n ^ { 4 } + 2 n ^ { 2 } + 1$，$ c ^ { 2 } = ( n ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } = n ^ { 4 } + 2 n ^ { 2 } + 1$，所以 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 }$.
所以以 $ a$，$ b$，$ c$ 为边的三角形是直角三角形.