《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

7. 如图 5，等边三角形 $ABC$ 的边长是 2，$D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，延长 $BC$ 至点 $F$，使 $CF=\frac{1}{2}BC$，连接 $CD$，$EF$.
(1) 求证：$DE = CF$；
证明：因为$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，所以$DE = \frac{1}{2}BC$，且$DE // BC$.
因为点$F$在$BC$延长线上，且$CF = \frac{1}{2}BC$，所以$DE // CF$，且$DE = CF$.
(2) 求 $EF$ 的长.$\sqrt{3}$
解：由 (1) 知$DE // CF$，且$DE = CF$，所以四边形$DCFE$为平行四边形. 所以$DC = EF$.
因为$△ABC$是等边三角形，边长是$2$，$D$是$AB$中点，所以$AB = BC = 2$，$CD \perp AB$，$∠BDC = 90^{\circ}$.
所以$BD = \frac{1}{2}AB = 1$，则$CD = \sqrt{BC^{2} - BD^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$. 所以$EF = \sqrt{3}$.

答案：
(1) 证明：因为$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，所以$DE = \frac{1}{2}BC$，且$DE // BC$.
因为点$F$在$BC$延长线上，且$CF = \frac{1}{2}BC$，所以$DE // CF$，且$DE = CF$.
(2) 解：由
(1) 知$DE // CF$，且$DE = CF$，所以四边形$DCFE$为平行四边形. 所以$DC = EF$.
因为$△ABC$是等边三角形，边长是$2$，$D$是$AB$中点，所以$AB = BC = 2$，$CD \perp AB$，$∠BDC = 90^{\circ}$.
所以$BD = \frac{1}{2}AB = 1$，则$CD = \sqrt{BC^{2} - BD^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$. 所以$EF = \sqrt{3}$.

1. 如图 1，有一个正五边形 $ABCDE$ 纸片，小明想在这个五边形纸片内部找一点 $P$，剪出一个四边形 $ABPE$，且该四边形为平行四边形. 请你告诉小明该如何剪，并说明你的理由.

答案：
解：先连接$BD$，$CE$交于点$P$，则四边形$ABPE$就是所要剪的平行四边形.
理由：因为正五边形的每个内角的度数是$108^{\circ}$，$AB = BC = CD = DE = AE$，所以$∠DEC = ∠DCE = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 108^{\circ}) = 36^{\circ}$.
同理可得$∠CBD = ∠CDB = 36^{\circ}$，所以$∠ABP = ∠AEP = 108^{\circ} - 36^{\circ} = 72^{\circ}$. 所以$∠ABP + ∠A = 180^{\circ}$，$∠AEP + ∠A = 180^{\circ}$.
所以$BP // AE$，$AB // PE$. 所以四边形$ABPE$是平行四边形.