《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

动动手
下面我们就分别用秦九韶公式和海伦公式解决下列问题：
已知$\triangle ABC$的三边长分别为3，5，7，求$\triangle ABC$的面积.
问题一：试着用海伦公式计算$\triangle ABC$的面积，再用秦九韶公式计算一次.
问题二：经过两次计算，对比计算结果，你发现了什么?
数学就是这样神奇，你喜欢吗?

答案： 【解析】：
1. **用海伦公式计算三角形面积**：
海伦公式为$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，其中$a$，$b$，$c$为三角形的三边，$p=\frac{a + b + c}{2}$。
已知$a = 3$，$b = 5$，$c = 7$，则$p=\frac{3 + 5+7}{2}=\frac{15}{2}$。
那么$p - a=\frac{15}{2}-3=\frac{15 - 6}{2}=\frac{9}{2}$，$p - b=\frac{15}{2}-5=\frac{15 - 10}{2}=\frac{5}{2}$，$p - c=\frac{15}{2}-7=\frac{15 - 14}{2}=\frac{1}{2}$。
所以$S=\sqrt{\frac{15}{2}\times\frac{9}{2}\times\frac{5}{2}\times\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{675}{16}}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$。
2. **用秦九韶公式计算三角形面积**：
秦九韶公式为$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^{2}c^{2}-\left(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}\right)^{2}\right]}$。
把$a = 3$，$b = 5$，$c = 7$代入公式，先计算$\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}=\frac{9 + 49-25}{2}=\frac{33}{2}$，$a^{2}c^{2}=9\times49 = 441$。
则$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[441-\left(\frac{33}{2}\right)^{2}\right]}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(441-\frac{1089}{4}\right)}=\sqrt{\frac{1}{4}\times\frac{1764 - 1089}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}\times\frac{675}{4}}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$。
3. **对比计算结果**：
由上述计算可知，用海伦公式和秦九韶公式计算出的$\triangle ABC$的面积结果相同。
【答案】：问题一：用海伦公式计算$\triangle ABC$的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，用秦九韶公式计算$\triangle ABC$的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$；问题二：发现用海伦公式和秦九韶公式计算同一三角形的面积结果相同。