《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

2. (1) 如图 2-①，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，直线 $EF$ 过点 $O$ 分别交 $AD$，$BC$ 于点 $E$，$F$. 求证：$AE = CF$；
证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD // BC$，$OA = OC$.
所以$∠OAE = ∠OCF$，$∠AEO = ∠CFO$.
所以$△AOE ≌ △COF$（AAS）. 所以$AE = CF$.
(2) 如图 2-②，将 $□ ABCD$ (纸片) 沿过对角线交点 $O$ 的直线 $EF$ 折叠，点 $A$ 落在点 $A_1$ 处，点 $B$ 落在点 $B_1$ 处. 设 $FB_1$ 交 $CD$ 于点 $G$，$A_1B_1$ 分别交 $CD$，$DE$ 于点 $H$，$I$. 求证：$EI = FG$；
证明：由 (1) 得$AE = CF$.
因为折叠，所以$AE = A_{1}E$，所以$A_{1}E = CF$.
因为$∠A_{1} = ∠A = ∠C$，$∠B_{1} = ∠B = ∠D$，$∠DHI = ∠B_{1}HG$，所以$∠DIH = ∠B_{1}GH$（三角形内角和定理）.
所以$∠A_{1}IE = ∠CGF$（对顶角相等）.
在$△A_{1}IE$与$△CGF$中，$∠A_{1} = ∠C$，$∠A_{1}IE = ∠CGF$，$A_{1}E = CF$，所以$△A_{1}IE ≌ △CGF$（AAS）.
所以$EI = FG$.

答案：
(1) 证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD // BC$，$OA = OC$.
所以$∠OAE = ∠OCF$，$∠AEO = ∠CFO$.
所以$△AOE ≌ △COF$. 所以$AE = CF$.
(2) 解：由
(1) 得$AE = CF$.
因为$AE = A_{1}E$，所以$A_{1}E = CF$.
因为$∠A_{1} = ∠A = ∠C$，$∠B_{1} = ∠B = ∠D$，$∠DHI = ∠B_{1}HG$，所以$∠DIH = ∠B_{1}GH$.
所以$∠A_{1}IE = ∠CGF$.
在$△A_{1}IE$与$△CGF$中，$∠A_{1} = ∠C$，$∠A_{1}IE = ∠CGF$，$A_{1}E = CF$，所以$△A_{1}IE ≌ △CGF$.
所以$EI = FG$.

1. 如图1，若矩形ABCD的对角线AC=5，则下列结论一定正确的是（D）

A. AB=5
B. BC=5
C. CD=5
D. BD=5

答案： D