《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

6. 如图 4，已知 $\triangle ABC$，$D$ 为 $AB$ 上的点，$AE = EC$，延长 $DE$ 到点 $F$，使 $EF = DE$，连接 $AF$，$FC$，$CD$，则图中四边形 $ADCF$ 是平行四边形.

答案： 平行

7. 如图 5，已知 $□ ABCD$，$\angle B$，$\angle D$ 的平分线分别交 $CD$，$AB$ 于点 $E$，$F$，那么 $BE$ 与 $DF$ 相等吗？为什么？

解：$BE$ 与 $DF$ 相等.
理由：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$∠A = ∠C$，$∠ABC = ∠CDA$.
因为$BE$，$DF$分别平分$∠ABC$，$∠CDA$，所以$∠2 = ∠4 = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠1 = ∠3 = \frac{1}{2}∠CDA$.
所以$∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4$.
因为$∠BED = ∠4 + ∠C$，$∠DFB = ∠1 + ∠A$，所以$∠BED = ∠DFB$.
所以四边形$BEDF$是平行四边形. 所以$BE = DF$.

答案： 解：$BE = DF$.
理由：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$∠A = ∠C$，$∠ABC = ∠CDA$.
因为$BE$，$DF$分别平分$∠ABC$，$∠CDA$，所以$∠2 = ∠4 = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠1 = ∠3 = \frac{1}{2}∠CDA$.
所以$∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4$.
因为$∠BED = ∠4 + ∠C$，$∠DFB = ∠1 + ∠A$，所以$∠BED = ∠DFB$.
所以四边形$BEDF$是平行四边形. 所以$BE = DF$.

8. 如图 6，在 $\triangle ABC$ 中，$D$，$E$ 分别是边 $BC$，$AC$ 的中点，连接 $DE$，$AD$，点 $F$ 在 $BA$ 的延长线上，且 $AF=\frac{1}{2}AB$，连接 $EF$，判断四边形 $ADEF$ 的形状，并加以证明.

解：四边形$ADEF$是平行四边形.
证明：因为$D$，$E$分别是边$BC$，$AC$的中点，所以$DE // AB$，$DE = \frac{1}{2}AB$.
因为$AF = \frac{1}{2}AB$，所以$DE = AF$.
又因为点$F$在$BA$的延长线上，所以$DE // AF$.
所以四边形$ADEF$是平行四边形.

答案： 解：四边形$ADEF$是平行四边形.
证明：因为$D$，$E$分别是边$BC$，$AC$的中点，所以$DE // AB$，$DE = \frac{1}{2}AB$.
因为$AF = \frac{1}{2}AB$，所以$DE = AF$.
又因为点$F$在$BA$的延长线上，所以$DE // AF$.
所以四边形$ADEF$是平行四边形.