《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

4. 已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，需再从①$AB = BC$，②$\angle A B C = 90 ^ { \circ }$，③$A C = B D$，④$A C \perp B D$ 四个条件中，选其中两个作为补充条件，使四边形 $ABCD$ 是正方形. 下列选法中错误的是（B）
A. 选①②
B. 选②③
C. 选①③
D. 选②④

答案： B

5. 如图 2，在正方形 $ABCD$ 的外侧作等边三角形 $ADE$，则 $\angle BED$ 的度数是$45^{\circ}$.

答案： $ 45^{\circ} $

6. 在正方形 $ABCD$ 中，已知 $AB = 4 \mathrm { cm }$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，则 $\triangle A B O$ 的周长是__________$\mathrm { cm }$.$4 + 4\sqrt{2}$

答案： $ (4 + 4\sqrt{2}) $

7. 如图 3，正方形 $ABCD$ 的边长为 2，$E$ 为 $BC$ 的中点，点 $P$ 在对角线 $BD$ 上移动，则 $P E + P C$ 的最小值是$\sqrt{5}$.

答案： $ \sqrt{5} $

8. 如图 4，四边形 $ABCD$ 是正方形，$H$ 是 $AB$ 的中点，$E$ 是 $BC$ 的中点，$\angle A E F = 90 ^ { \circ }$，$EF$ 交 $\angle D C G$ 的平分线 $CF$ 于点 $F$，连接 $EH$. 求证：$A E = E F$.

答案： 证明：因为 $ \angle AEF = 90^{\circ} $，所以 $ \angle 2 + \angle AEB = 90^{\circ} $。
因为四边形 $ ABCD $ 是正方形，所以 $ \angle B = \angle BCD = 90^{\circ} $。所以 $ \angle 1 + \angle AEB = 90^{\circ} $。
所以 $ \angle 1 = \angle 2 $。
因为点 $ E $ 是 $ BC $ 的中点，点 $ H $ 是 $ AB $ 的中点，所以 $ BH = BE $，$ AH = EC $。
所以 $ \angle BHE = 45^{\circ} $。
因为 $ CF $ 是 $ \angle DCG $ 的平分线，所以 $ \angle FCG = \frac{1}{2} \angle DCG = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ} $。
所以 $ \angle AHE = \angle ECF = 135^{\circ} $。所以 $ \triangle AHE \cong \triangle ECF $。所以 $ AE = EF $。