《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

9. 如图7，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°.
(1) 求证：四边形ABCD是矩形；
证明：因为 $ AO = CO $，$ BO = DO $，所以四边形 $ ABCD $ 是平行四边形。
所以 $ \angle ABC = \angle ADC $。
因为 $ \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} $，所以 $ \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ} $。所以四边形 $ ABCD $ 是矩形。
(2) 若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，求∠BDF的度数.
解：因为 $ \angle ADC = 90^{\circ} $，$ \angle ADF : \angle FDC = 3 : 2 $，所以 $ \angle FDC = 36^{\circ} $。
因为 $ DF \perp AC $，所以 $ \angle DCO = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ} $。
因为四边形 $ ABCD $ 是矩形，所以 $ OC = OD $。所以 $ \angle ODC = 54^{\circ} $。
所以 $ \angle BDF = \angle ODC - \angle FDC = 18^{\circ} $。
∠BDF的度数为18°

答案：
(1) 证明：因为 $ AO = CO $，$ BO = DO $，所以四边形 $ ABCD $ 是平行四边形。
所以 $ \angle ABC = \angle ADC $。
因为 $ \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} $，所以 $ \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ} $。所以四边形 $ ABCD $ 是矩形。
(2) 解：因为 $ \angle ADC = 90^{\circ} $，$ \angle ADF : \angle FDC = 3 : 2 $，所以 $ \angle FDC = 36^{\circ} $。
因为 $ DF \perp AC $，所以 $ \angle DCO = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ} $。
因为四边形 $ ABCD $ 是矩形，所以 $ OC = OD $。所以 $ \angle ODC = 54^{\circ} $。
所以 $ \angle BDF = \angle ODC - \angle FDC = 18^{\circ} $。

1. 如图1，矩形ABCD的两条对角线的一个夹角为60°，两条对角线长度的和为20cm，则矩形ABCD的一条较短边的长为（D）

A. 10cm
B. 8cm
C. 6cm
D. 5cm

答案： D

2. 如图2，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若增加一个条件，使□ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（C）

A. AB=AD
B. AC⊥BD
C. AC=BD
D. ∠BAC=∠DAC

答案： C