《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

1. 右图所示是明明和亮亮用正三角形、正方形和矩形拼成的一个图形.已知正三角形和矩形共有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上.若正三角形和正方形的面积分别是$2\sqrt {3}$和2，你能求出图中阴影部分的面积吗?

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答案： 【解析】：
1. 首先求正三角形的边长：
设正三角形的边长为$a$，根据正三角形面积公式$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，已知正三角形面积$S = 2\sqrt{3}$，则$\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=2\sqrt{3}$。
方程两边同时除以$\sqrt{3}$得$\frac{1}{4}a^{2}=2$，两边再同时乘以$4$得$a^{2}=8$，解得$a = 2\sqrt{2}$（边长$a\gt0$）。
2. 然后求正方形的边长：
设正方形的边长为$b$，根据正方形面积公式$S = b^{2}$，已知正方形面积$S = 2$，则$b^{2}=2$，解得$b=\sqrt{2}$（边长$b\gt0$）。
3. 接着分析图形关系：
由正三角形和矩形共有一条公共边，可知矩形的长为$2\sqrt{2}$。
因为正方形四个顶点都在矩形的边上，且正方形边长为$\sqrt{2}$，所以矩形的宽为$\sqrt{2}$。
4. 最后求阴影部分面积：
阴影部分面积等于矩形面积减去正方形面积。
矩形面积$S_{矩}=长\times宽 = 2\sqrt{2}\times\sqrt{2}=4$，正方形面积$S_{正}=2$。
所以阴影部分面积$S = S_{矩}-S_{正}=4 - 2=2$。
【答案】：$2$

2. 下面是花农李大叔和正读八年级的儿子大勇的对话.
李大叔：我想用一段篱笆围成一个一边靠墙的长方形花圃ABCD(如图所示)，AB的长为$\frac {5}{2}\sqrt {32}m$，AD的长为$\frac {7}{3}\sqrt {18}m$.你帮我算一下这个花圃的面积.
大勇：这可难不倒我，我是这样算的……
你知道大勇是怎样算的吗?写出计算过程.
解：因为长方形面积$S=AB×AD$，所以该花圃面积$S=\frac{5}{2}\sqrt{32}×\frac{7}{3}\sqrt{18}$。
化简二次根式：$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$。
代入可得：$S = \frac{5}{2}×4\sqrt{2}×\frac{7}{3}×3\sqrt{2}$。
计算：$S=( \frac{5}{2}×4)×(\frac{7}{3}×3)×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=10×7×2=140$。
答：这个花圃的面积为$140m^{2}$。

答案： 【解析】：
本题可根据长方形的面积公式$S = 长\times宽$，结合二次根式的乘法运算法则进行计算。
- **步骤一：明确长方形花圃的长和宽**
已知$AB$的长为$\frac {5}{2}\sqrt {32}m$，$AD$的长为$\frac {7}{3}\sqrt {18}m$，由于长方形面积$S = AB\times AD$，所以该花圃面积$S=\frac{5}{2}\sqrt{32}\times\frac{7}{3}\sqrt{18}$。
- **步骤二：化简二次根式**
根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$（$a\geq0,b\geq0$）对$\sqrt{32}$和$\sqrt{18}$进行化简：
$\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=\sqrt{16}\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
将其代入$S=\frac{5}{2}\sqrt{32}\times\frac{7}{3}\sqrt{18}$可得：
$S = \frac{5}{2}\times4\sqrt{2}\times\frac{7}{3}\times3\sqrt{2}$
- **步骤三：计算二次根式的乘法**
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a\geq0,b\geq0$）以及有理数乘法法则进行计算：
$\begin{aligned}S&=\frac{5}{2}\times4\sqrt{2}\times\frac{7}{3}\times3\sqrt{2}\\&=( \frac{5}{2}\times4)\times(\frac{7}{3}\times3)\times(\sqrt{2}\times\sqrt{2})\\&=10\times7\times2\\&=140\end{aligned}$
【答案】：$140m^{2}$