《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

7. 如图7，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，折痕为AE，求CE的长.

解：因为四边形 $ ABCD $ 为矩形，所以 $ AD = BC = 10 \text{ cm} $，$ CD = AB = 8 \text{ cm} $。
因为 $ \triangle AFE $ 是 $ \triangle ADE $ 沿 $ AE $ 折叠后的图形，所以 $ \triangle AFE \cong \triangle ADE $。
所以 $ AF = AD = 10 \text{ cm} $，$ DE = FE $。
在 $ \text{Rt} \triangle ABF $ 中，$ BF = \sqrt{AF^{2} - AB^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6 (\text{cm}) $。所以 $ FC = BC - BF = 10 - 6 = 4 (\text{cm}) $。
设 $ CE = x \text{ cm} $，则 $ DE = EF = (8 - x) \text{ cm} $。
在 $ \text{Rt} \triangle EFC $ 中，$ (8 - x)^{2} = x^{2} + 4^{2} $，解得 $ x = 3 $。所以 $ CE $ 的长是 $ 3\text{ cm} $。

答案： 解：因为四边形 $ ABCD $ 为矩形，所以 $ AD = BC = 10 \text{ cm} $，$ CD = AB = 8 \text{ cm} $。
因为 $ \triangle AFE $ 是 $ \triangle ADE $ 沿 $ AE $ 折叠后的图形，所以 $ \triangle AFE \cong \triangle ADE $。
所以 $ AF = AD = 10 \text{ cm} $，$ DE = FE $。
在 $ \text{Rt} \triangle ABF $ 中，$ BF = \sqrt{AF^{2} - AB^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6 (\text{cm}) $。所以 $ FC = BC - BF = 10 - 6 = 4 (\text{cm}) $。
设 $ CE = x \text{ cm} $，则 $ DE = EF = (8 - x) \text{ cm} $。
在 $ \text{Rt} \triangle EFC $ 中，$ (8 - x)^{2} = x^{2} + 4^{2} $，解得 $ x = 3 $。所以 $ CE $ 的长是 $ 3 \text{ cm} $。

8. 如图8，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=1/2AC，连接CE，OE，AE，且AE交OD于点F.
(1) 求证：OE=CD；
(2) 若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE的长.

(1) 证明：因为四边形 $ ABCD $ 为菱形，所以 $ OC = \frac{1}{2}AC $，$ AC \perp BD $。
因为 $ DE = \frac{1}{2}AC $，所以 $ DE = OC $。
因为 $ DE // AC $，所以四边形 $ OCED $ 是平行四边形。
因为 $ AC \perp BD $，所以 $ □ OCED $ 是矩形，$ OE = CD $。
(2) 解：因为四边形 $ ABCD $ 是菱形，$ \angle ABC = 60^{\circ} $，所以 $ AC = AB = BC = 4 $，$ OD = OB $，$ BD \perp AC $。所以 $ OC = \frac{1}{2}AC = 2 $。
因为四边形 $ OCED $ 是矩形，所以 $ CE = OD = \sqrt{BC^{2} - CO^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{3} $。
在 $ \text{Rt} \triangle ACE $ 中，$ AE = \sqrt{AC^{2} + CE^{2}} = \sqrt{4^{2} + (2\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{7} $。

答案：
(1) 证明：因为四边形 $ ABCD $ 为菱形，所以 $ OC = \frac{1}{2}AC $，$ AC \perp BD $。
因为 $ DE = \frac{1}{2}AC $，所以 $ DE = OC $。
因为 $ DE // AC $，所以四边形 $ OCED $ 是平行四边形。
因为 $ AC \perp BD $，所以 $ \square OCED $ 是矩形，$ OE = CD $。
(2) 解：因为四边形 $ ABCD $ 是菱形，$ \angle ABC = 60^{\circ} $，所以 $ AC = AB = BC = 4 $，$ OD = OB $，$ BD \perp AC $。所以 $ OC = \frac{1}{2}AC = 2 $。
因为四边形 $ OCED $ 是矩形，所以 $ CE = OD = \sqrt{BC^{2} - CO^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{3} $。
在 $ \text{Rt} \triangle ACE $ 中，$ AE = \sqrt{AC^{2} + CE^{2}} = \sqrt{4^{2} + (2\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{7} $。