《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

(1) 求证：OP=OQ.
(2) 若AD=8cm，AB=6cm，P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与点D重合). 设点P的运动时间为t s，请用t表示PD的长，并求t为何值时，四边形PBQD是菱形.
PD的长为8 - tcm，t为7/4s时，四边形PBQD是菱形.

答案：
(1) 证明：因为四边形 $ ABCD $ 是矩形，所以 $ AD // BC $。所以 $ \angle PDO = \angle QBO $。
又因为 $ OB = OD $，$ \angle POD = \angle QOB $，所以 $ \triangle POD \cong \triangle QOB $。所以 $ OP = OQ $。
(2) 解：依题意，得 $ PD = 8 - t $。
当四边形 $ PBQD $ 是菱形时，$ PB = PD = (8 - t) \text{ cm} $。
因为四边形 $ ABCD $ 是矩形，所以 $ \angle A = 90^{\circ} $。
在 $ \text{Rt} \triangle ABP $ 中，$ AB = 6 \text{ cm} $，由勾股定理，得 $ AP^{2} + AB^{2} = BP^{2} $，则 $ t^{2} + 6^{2} = (8 - t)^{2} $，解得 $ t = \frac{7}{4} $。所以运动时间为 $ \frac{7}{4} \text{ s} $ 时，四边形 $ PBQD $ 是菱形。