《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

8. 如图2，已知$∠ADC=90^{\circ}$，$AD=8$，$CD=6$，$AB=26$，$BC=24$.
(1)试证明$\triangle ABC$是直角三角形；
证明：在$ \mathrm { Rt } \triangle A D C $中，因为$ \angle A D C = 90 ^ { \circ }$，$ A D = 8$，$ C D = 6$，所以$ A C ^ { 2 } = A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } = 100$. 所以$ A C = 10$.
在$ \triangle A B C $中，因为$ A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } + 24 ^ { 2 } = 676$，$ A B ^ { 2 } = 26 ^ { 2 } = 676$，$ A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = A B ^ { 2 }$.
所以$\triangle ABC$是直角三角形.
(2)求图中阴影部分的面积.96

答案：
(1) 在 $ \mathrm { Rt } \triangle A D C $ 中，因为 $ \angle A D C = 90 ^ { \circ }$，$ A D = 8$，$ C D = 6$，所以 $ A C ^ { 2 } = A D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } = 100$. 所以 $ A C = 10$.
在 $ \triangle A B C $ 中，因为 $ A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } + 24 ^ { 2 } = 676$，$ A B ^ { 2 } = 26 ^ { 2 } = 676$，$ A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = A B ^ { 2 }$.
所以 $ \triangle A B C $ 是直角三角形.
(2) $ S _ { \text { 阴影 } } = S _ { \triangle A B C } - S _ { \triangle A C D } = \frac { 1 } { 2 } \times 10 \times 24 - \frac { 1 } { 2 } \times 8 \times 6 = 96$.

9. 如图3，$∠ABC=90^{\circ}$，$AB=6cm$，$AD=24cm$，$BC+CD=34cm$，$C$是直线$l$上一动点，当点$C$与点$B$距离多远时，$\triangle ACD$是一个以$CD$为斜边的直角三角形？

解：设 $ B C = $$x \mathrm { cm }$时，$ \triangle A C D $ 是一个以 $ C D $ 为斜边的直角三角形.
因为 $ B C + C D = 34$，所以 $ C D = $$34 - x$.
在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ A C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = $$6 ^ { 2 } + x ^ { 2 }$.
在 $ \mathrm { Rt } \triangle A C D $ 中，$ A C ^ { 2 } = C D ^ { 2 } - A D ^ { 2 } = $$( 34 - x ) ^ { 2 } - 24 ^ { 2 }$，所以$6 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = ( 34 - x ) ^ { 2 } - 24 ^ { 2 }$.
解得 $ x = $$8$.
所以当点 $ C $ 与点 $ B $ 的距离为$8 \mathrm { cm }$时，$ \triangle A C D $ 是一个以 $ C D $ 为斜边的直角三角形.

答案： 解：设 $ B C = x \mathrm { cm }$ 时，$ \triangle A C D $ 是一个以 $ C D $ 为斜边的直角三角形.
因为 $ B C + C D = 34$，所以 $ C D = 34 - x$.
在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ A C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = 6 ^ { 2 } + x ^ { 2 }$.
在 $ \mathrm { Rt } \triangle A C D $ 中，$ A C ^ { 2 } = C D ^ { 2 } - A D ^ { 2 } = ( 34 - x ) ^ { 2 } - 24 ^ { 2 }$，所以 $ 6 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = ( 34 - x ) ^ { 2 } - 24 ^ { 2 }$.
解得 $ x = 8$.
所以当点 $ C $ 与点 $ B $ 的距离为 $ 8 \mathrm { cm }$ 时，$ \triangle A C D $ 是一个以 $ C D $ 为斜边的直角三角形.