《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

(1) 求证：$P C = P E$；
(2) 求 $\angle C P E$ 的度数；90°
(3) 如图 2，把正方形 $ABCD$ 改为菱形 $ABCD$，其他条件不变，当 $\angle A B C = 120 ^ { \circ }$ 时，连接 $CE$，试探究线段 $AP$ 与线段 $CE$ 的长度关系，并说明理由.$AP=CE$

答案：
(1) 证明：因为四边形 $ ABCD $ 是正方形，所以 $ AD = CD $，$ \angle ADP = \angle CDP $。
因为 $ DP = DP $，所以 $ \triangle ADP \cong \triangle CDP $。所以 $ PA = PC $。
因为 $ PA = PE $，所以 $ PC = PE $。
(2) 解：因为 $ \triangle ADP \cong \triangle CDP $，所以 $ \angle DAP = \angle DCP $。
因为 $ PA = PE $，所以 $ \angle DAP = \angle E $。所以 $ \angle DCP = \angle E $。
因为 $ \angle PFC = \angle DFE $，$ \angle EDF = 90^{\circ} $，所以 $ \angle CPE = \angle EDF = 90^{\circ} $。
(3) $ AP = CE $。
理由：因为四边形 $ ABCD $ 是菱形，$ \angle ABC = 120^{\circ} $，所以 $ \angle ADC = 120^{\circ} $，$ AD = CD $，$ \angle ADP = \angle CDP $。所以 $ \angle EDC = 60^{\circ} $。
又 $ DP = DP $，所以 $ \triangle ADP \cong \triangle CDP $。所以 $ PA = PC $。所以 $ \angle DAP = \angle DCP $。
因为 $ PA = PE $，所以 $ \angle DAP = \angle DEP $，$ CP = PE $。所以 $ \angle FCP = \angle DEF $。
又 $ \angle DFE = \angle PFC $，所以 $ \angle CPE = \angle EDF = 60^{\circ} $。
所以 $ \triangle PCE $ 是等边三角形。所以 $ PE = CE $。
又 $ AP = PE $，所以 $ AP = CE $。