《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

9. 如图8，▱ABCD的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC⊥AB$，$AB = 2\sqrt{5}$，且$AC:BD = 2:3$.
（1）求$AC$的长；8
（2）求$\triangle AOD$的面积.$4\sqrt{5}$

答案： 解：
(1) 因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $OA = OC=\frac{1}{2}AC$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD$。
因为 $AC:BD = 2:3$，所以 $AO:BO = 2:3$。
设 $AO = 2x$，$BO = 3x$。
在 $Rt\triangle ABO$ 中，由勾股定理，得 $OB^{2}-OA^{2}=AB^{2}$，即 $9x^{2}-4x^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$，解得 $x = 2$ 或 $x = -2$（舍去）。则 $2x = 4$，即 $AO = 4$，所以 $AC = 2OA = 8$。
(2) $S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AB\cdot AO=\frac{1}{2}\times2\sqrt{5}\times4 = 4\sqrt{5}$。
因为 $OB = OD$，所以 $S_{\triangle AOD}=S_{\triangle AOB}=4\sqrt{5}$。

1. 已知▱ABCD的周长是36，$AB:AD = 1:2$，则$AB$的长是（D）
A. 4
B. 16
C. 8
D. 6

答案： D

2. 如图1，将▱ABCD沿过点$A$的直线$l$折叠，使点$D$落到$AB$边上的点$D'$处，折痕$l$交$CD$于点$E$，连接$BE$. 若$BE$平分$∠ABC$，且$AB = 5$，$BE = 4$，则$AE$的长是（B）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： B