《2025年暑假乐园现代教育出版社八年级数学人教版》

8. 如图3，直线$l$的函数解析式为$y=-\frac {4}{3}x+4$，与坐标轴分别交于$A$，$B$两点.
(1) 求点$A$的坐标；
(2) 动点$C$从$y$轴上的点$(0,12)$出发，以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向$y$轴负半轴运动，设点$C$运动的时间为$t\mathrm{s}$，求使$\triangle ABC$为等腰三角形的$t$值.

答案：
解：
(1) 令$y=0$，$-\frac{4}{3}x+4=0$，解得$x=3$. 所以$A$点的坐标为$(3,0)$.
(2) 令$x=0$，$y=4$，则$B$点的坐标为$(0,4)$，由勾股定理，可得$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.
①当$BA=BC$时，$t=(12-4-5)÷1=3(s)$，或$t=(12-4+5)÷1=13(s)$.
②当$CB=CA$时，如图所示，设$BC=x$，则$AC=x$，$OC=4-x$.
在$Rt△COA$中，根据勾股定理，可得$OC^{2}+OA^{2}=AC^{2}$，即$(4-x)^{2}+3^{2}=x^{2}$，解得$x=\frac{25}{8}$.
所以$t=(12-4+\frac{25}{8})÷1=\frac{89}{8}(s)$.

③当$AB=AC$时，$t=(12+4)÷1=16(s)$.
综上可知，当$△ABC$为等腰三角形时，$t$的值分别是$3s$，$13s$，$\frac{89}{8}s$或$16s$.

胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游. 经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人$640$元，且提供的服务完全相同. 针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过$20$人，每人都按九折收费，超过$20$人，则超出部分每人按七五折收费. 假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为$x$人.
(1) 请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用$y$(元) 与$x$(人数) 之间的函数解析式；
(2) 若胡老师组团参加两日游的人数共有$32$人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家.

答案： 解：
(1) 甲旅行社：$y=640×0.85x=544x$.
乙旅行社：当$x≤20$时，$y=640×0.9x=576x$.
当$x＞20$时，$y=640×0.9×20+640×0.75(x-20)=480x+1920$.
(2) 甲旅行社：当$x=32$时，$y=544×32=17408$.
乙旅行社：因为$32＞20$，所以当$x=32$时，$y=480×32+1920=17280$.
因为$17408＞17280$，所以胡老师应选择乙旅行社.