《2025年单元双测全优测评卷七年级数学下册沪科版》

22. 问题：解方程$\frac{1}{x - 2}=\frac{x - 1}{2 - x}-3$.
下列两种解法是同学甲和同学乙给出的，请帮助他们分析做法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，请帮他们纠正.
解：同学甲：
由方程，得$\frac{1}{x - 2}=\frac{1 - x}{x - 2}-3$，
去分母，得$1 = 1 - x - 3$，
解得$x = -3$.
故原方程的解为$x = -3$.
同学乙：
由方程，得$\frac{1}{x - 2}=\frac{x - 1 - 3(x - 2)}{x - 2}$，
两边都乘$(x - 2)$，得$1 = x - 1 - 3x + 6$，
解得$x = 2$.
故原方程的解为$x = 2$.

答案： 他们都做错了.
　　同学甲去分母时并不是从整体上运用等式的性质，解完方程后也没有验根；
　　同学乙在分母改变符号时，分子没有跟着改变符号，另外，也没有验根.
　正确的解法如下：
　根据分式的基本性质，原方程可化为
　$\frac{1}{x - 2}=\frac{1 - x}{x - 2}-3$，
　两边同乘$(x - 2)$，得$1 = 1 - x - 3(x - 2)$，
　解得$x=\frac{3}{2}$.
　检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$x - 2=-\frac{1}{2}\neq0$，
　所以$x=\frac{3}{2}$是原方程的解.