《2025年单元双测全优测评卷七年级数学下册沪科版》

 23.传统文化 赵爽弦图 八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
　将$2a - 3ab - 4 + 6b$因式分解.

[观察]经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法:
　解法一:原式$=(2a - 3ab)-(4 - 6b)$
　　　　　　=$a(2 - 3b)-2(2 - 3b)$
　　　　　　=$(2 - 3b)(a - 2)$.
　解法二:原式$=(2a - 4)-(3ab - 6b)$
　　　　　　=$2(a - 2)-3b(a - 2)$
　　　　　　=$(a - 2)(2 - 3b)$.

[类比](1)请用分组分解法将$x^{2}-a^{2}+x + a$因式分解;
[挑战](2)请用分组分解法将$ax + a^{2}-2ab - bx + b^{2}$因式分解;
[应用](3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲,我们利用它验证了勾股定理.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是a和b($a＞b$),斜边长是3($a^{2}+b^{2}=3^{2}$),小正方形的面积是1.
　根据以上信息,先将$a^{4}-2a^{3}b + 2a^{2}b^{2}-2ab^{3}+b^{4}$因式分解,再求值.

答案：
(1)原式=(x² - a²)+(x + a)=(x + a)(x - a)+(x + a)=(x + a)(x - a + 1).
(2)原式=(ax - bx)+(a² - 2ab + b²)=x(a - b)+(a - b)²=(a - b)(x + a - b).
(3)原式=(a⁴ + 2a²b² + b⁴)-(2ab³ + 2a³b)=(a² + b²)² - 2ab(a² + b²)=(a² + b²)(a² + b² - 2ab)=(a² + b²)(a - b)².
∵a² + b² = 9，(a - b)² = 1，
∴原式 = 9.