《2025年单元双测全优测评卷七年级数学下册沪科版》

19. 如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔。
(1)求图中阴影部分面积；(用含a,b的式子表示)
(2)用分解因式计算当a = 15.7，b = 4.3时，阴影部分的面积.

答案：
(1)2a·a - 2b²=2(a² - b²).
(2)当a = 15.7,b = 4.3时,阴影部分的面积为2(a² - b²)=2(a + b)(a - b)=2×(15.7 + 4.3)×(15.7 - 4.3)=456.

20. 试说明对于任意自然数n，3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺³ + 3ⁿ - 2ⁿ⁺¹能被10整除.

答案： 因为3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺³ + 3ⁿ - 2ⁿ⁺¹=(3ⁿ⁺² + 3ⁿ)-(2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺¹)=3ⁿ(3² + 1)-2ⁿ⁺¹(2² + 1)=3ⁿ×(3² + 1)-2ⁿ(2×2² + 2)=10×3ⁿ - 10×2ⁿ=10(3ⁿ - 2ⁿ),
所以3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺³ + 3ⁿ - 2ⁿ⁺¹能被10整除.

21. 阅读下列材料，并解答相应问题：
初中课本中，有以下文字：对于二次三项式x² + 2ax + a²这样的完全平方式，可以用公式法将它分解为(x + a)²的形式，但是，对于二次三项式x² + 2ax - 3a²，就不能直接用完全平方公式了，我们可以在二次三项式x² + 2ax - 3a²中先加上一项a²，使其成为完全平方式，再减去a²这项，使整个式子的值不变，于是有：
x² + 2ax - 3a² = x² + 2ax + a² - a² - 3a² = (x + a)² - (2a)² = (x + 3a)(x - a).
(1)像上面这样把二次三项式分解因式的数学思想方法是________;
(2)这种方法的关键是________________________;
(3)用上面的方法把m² - 6m + 8分解因式.

答案：
(1)配方法
(2)先加上一次项系数一半的平方,再减去这个数
(3)m² - 6m + 8=m² - 6m + 9 - 9 + 8
=(m - 3)² - 1=(m - 2)(m - 4).