《2025年单元双测全优测评卷七年级数学下册沪科版》

22. 由(x + p)(x + q) = x² + (p + q)x + pq，得x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q).利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将式子x² + 3x + 2分解因式.
解：x² + 3x + 2 = x² + (1 + 2)x + 1×2 = (x + 1)(x + 2).
请仿照以上方法，解答以下问题：
(1)分解因式：x² - 4x - 60.
(2)若x² + px - 12可分解为两个一次因式的积，则整数p的值有多少个?

答案：
(1)x² - 4x - 60=x²+( - 10 + 6)x+( - 10)×6=(x - 10)(x + 6).
(2)因为二次项系数为1,常数项为 - 12=-1×12=1×( - 12)=-2×6=2×( - 6)=-3×4=3×( - 4),所以p的可能值为 - 1 + 12=11,-12 + 1=-11,-2 + 6=4,-6 + 2=-4,-3 + 4=1,-4 + 3=-1.故整数p的值有6个.

23. 中考新考法 新定义问题 如果一个自然数M能分解成p² + q，其中p与q都是两位数，p与q的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数M为“好数”，并把数M = p² + q的过程，称为“好分解”，例如：139 = 11² + 18，11与18的十位数字相同，1 + 8 = 9，所以139是“好数”；470 = 21² + 29，21与29的十位数字相同，但1 + 9≠9，所以470不是“好数”.
(1)判断268,1061是否是“好数”？并说明理由.
(2)把一个四位“好数”M进行“好分解”，即M = p² + q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被4整除，且N的各个数位数字之和能被5整除，求出所有满足条件的M.

答案：
(1)268不是“好数”,1061是“好数”.理由如下：
268=16² + 12,16和12的十位数相同,但是2 + 6≠9,故268不是“好数”;
1061=32² + 37,32与37的十位数字相同,2 + 7=9,故1061是“好数”.
(2)设p的十位数是m,个位数是n,则q的十位数是m,个位数是9 - n,
∴N的各位数字之和是m + n + m + 9 - n=2m + 9.
∵N的各个数位数字之和能被5整除,
∴m = 3或8,
当m = 3时,N=1000m + 100n + 10m + 9 - n
=1010m + 99n + 9=3039 + 99n.
∵N能被4整除,
∴n = 3或7,
∴M=33² + 36=1125或M=37² + 32=1401,即M=1125或1401.
当m = 8时,N=1010m + 99n + 9=8089 + 99n.
∵N能被4整除,
∴n = 1或5或9,
∴M=81² + 88=6649或M=85² + 84=7309或M=89² + 80=8001,
即M=6649或7309或8001.
综上所述,满足条件的M有1125或1401或6649或7309或8001.