《2025年单元双测全优测评卷七年级数学下册沪科版》

17. 解方程：
(1)$\frac{2}{x - 3}=\frac{5}{x}$；
(2)$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$.

答案：
(1)去分母，得$2x = 5(x - 3)$，解得$x = 5$.
　检验：当$x = 5$时，$x(x - 3)\neq0$，
　所以原方程的解是$x = 5$.
(2)方程两边同时乘$(x - 1)(x + 2)$，得
　$x(x + 2)-(x - 1)(x + 2)=3$，
　整理，得$x + 2 = 3$，解得$x = 1$.
　检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2)=0$，
　所以$x = 1$是增根，舍去，
　所以原分式方程无解.

18. 解方程：$\frac{2x - 5}{x - 2}=\frac{3x - 3}{x - 2}-3$.

答案： 方程两边同时乘$(x - 2)$，得$2x - 5 = 3x - 3 - 3(x - 2)$，解得$x = 4$.
　检验：当$x = 4$时，$x - 2\neq0$，
　所以原方程的解是$x = 4$.

19. 先化简$(1-\frac{1}{x - 1})\div\frac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}-1}$，然后从$-2\leqslant x\leqslant 2$的范围内选取一个合适的整数作为$x$的值代入求值.

答案： 19.原式=$(\frac{x - 1}{x - 1}-\frac{1}{x - 1})$×$\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 2)^{2}}$
　　　=$\frac{x - 2}{x - 1}$×$\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 2)^{2}}=\frac{x + 1}{x - 2}$.
又$-2\leqslant x\leqslant2$且$x$为整数，并且使得原式有意义，
　　可选取$x = 0$或$x=-2$，
　　当$x = 0$时，原式$=-\frac{1}{2}$；
　　当$x=-2$时，原式$=\frac{1}{4}$.

20. 要使关于$x$的分式方程$\frac{x + 1}{x + 2}-\frac{x}{x - 1}=\frac{a}{(x + 2)(x - 1)}$的解是正数，求$a$的取值范围.

答案： 20.去分母，得$(x + 1)(x - 1)-x(x + 2)=a$.
　　解得$x=-\frac{a + 1}{2}$.
　
∵关于$x$的分式方程的解是正数，
　
∴$-\frac{a + 1}{2}＞0$，即$a＜-1$.
　
∵分式方程的分母不能为零，
　
∴$-\frac{a + 1}{2}\neq1$且$-\frac{a + 1}{2}\neq-2$，
　
∴$a\neq-3$且$a\neq3$，
　
∴$a$的取值范围是$a＜-1$且$a\neq-3$.