《2025年单元双测全优测评卷七年级数学下册沪科版》

20. 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x + 2)(x^{2}-4x + 6)+4$进行因式分解的过程.
解：设$x^{2}-4x=y$，
原式$=(y + 2)(y + 6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y + 16$(第二步)
$=(y + 4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的( ).
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？_______(填“彻底”或“不彻底”). 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_______.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}+2x)\cdot(x^{2}+2x + 2)+1$进行因式分解.

答案：
(1)C [解析]由$y^{2}+8y + 16=(y + 4)^{2}$得出运用了两数和的完全平方公式. 故选C.
(2)不彻底 $(x - 2)^{4}$ [解析]$\because x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}$，$\therefore$分解不彻底，$(x^{2}-4x + 4)^{2}=[(x - 2)^{2}]^{2}=(x - 2)^{4}$.
(3)设$x^{2}+2x = y$，
原式$=y(y + 2)+1=y^{2}+2y + 1=(y + 1)^{2}=(x^{2}+2x + 1)^{2}=[(x + 1)^{2}]^{2}=(x + 1)^{4}$.
易错警示 本题考查了因式分解，主要是考查学生对于完全平方公式和换元法进行因式分解的掌握情况，要求学生在换元分解，回代之后还要再观察是否能够继续进行因式分解，很多学生会忘记继续分解，是一个易错点.

21. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}=(1 + x)[1 + x + x(x + 1)]=(1 + x)(1 + x)^{2}=(1 + x)^{3}$.
(1)上述因式分解的方法是_______，共应用了_______次；
(2)若分解$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+\cdots+x(x + 1)^{2024}$，则需应用上述方法_______次，结果是_______；
(3)分解因式：$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+\cdots+x(x + 1)^{n}$（$n$为正整数）.

答案：
(1)提公因式法 2
(2)2024 $(1 + x)^{2025}$
(3)原式$=(1 + x)+x(1 + x)+x(1 + x)^{2}+\cdots+x\cdot(1 + x)^{n}=(1 + x)[1 + x + x(1 + x)+\cdots+x(1 + x)^{n - 1}]=(1 + x)^{2}[1 + x + x(1 + x)+\cdots+x(1 + x)^{n - 2}]=(1 + x)^{n + 1}$.