《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

$11. $在$Rt\triangle ABC$中，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}，$则$\frac{1}{2}\angle A$的正弦值为　　$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$　　。　　

答案： $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$

12. 式子$2\cos 30^{\circ}-\tan 45^{\circ}-\sqrt{(1-\tan 60^{\circ})^{2}}$的值是(B)

A.$2\sqrt{3}-2$
B.$0$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2$

答案： B

13. 如图，在正方形$ABCD$中，对角线$BD = 6\sqrt{2} cm$，$E$是$CD$上一点，且$CE = 2\sqrt{3} cm$，则$\angle BED=$120°。

]

答案： $120^{\circ}$

14. 定义一种运算：
$\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta$，
$\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta$。
例如：当$\alpha = 45^{\circ}$，$\beta = 30^{\circ}$时，$\sin (45^{\circ}+30^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
则$\sin 15^{\circ}$的值为$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$。

答案： $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

15. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$\angle BAC$的平分线交$BC$于点$D$，$AD=\frac{16\sqrt{3}}{3}$，求$\angle B$的度数及$AB$，$BC$的长。

]

答案： 解：$\because $在$ Rt \triangle ACD $中，$AC = 8, AD = \frac{16\sqrt{3}}{3}, \angle C = 90^{\circ}, \therefore$
$\cos \angle DAC = \frac{AC}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \therefore \angle DAC = 30^{\circ}. $又$\because AD$平分$\angle BAC，$
$\therefore \angle BAC = 60^{\circ}, \angle B = 30^{\circ}. \therefore AB = 2AC = 16, BC = AB \cdot \sin \angle BAC$
$= 16 × \sin 60^{\circ} = 8\sqrt{3}.$

16. 如图，在锐角三角形$ABC$中，$AD$与$CE$分别是边$BC$与$AB$上的高，$AB = 12$，$BC = 16$，$S_{\triangle ABC}=48$。
(1) 求$\angle B$的度数；
(2) 求$\tan \angle DAC$的值。

]

答案： 解：
(1)由题意可知，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AD = 48, BC = 16, \therefore AD =$
6.在$ Rt \triangle ABD $中，$AB = 12, \therefore \sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}. \therefore \angle B =$
$30^{\circ}. (2)\because BC = 16, BD = AB \cdot \cos B = 6\sqrt{3}, \therefore CD = 16 - 6\sqrt{3}. $在
$Rt \triangle ACD $中，$CD = 16 - 6\sqrt{3}, AD = 6, \therefore \tan \angle DAC = \frac{16 - 6\sqrt{3}}{6}$
$= \frac{8}{3} - \sqrt{3}.$

17. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算$\tan 15^{\circ}$时，如图，在$Rt\triangle ACB$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，延长$CB$使$BD = AB$，连结$AD$，得$\angle D = 15^{\circ}$，所以$\tan 15^{\circ}=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$。类比这种方法，计算$\tan 22.5^{\circ}$的值为(B)

A.$\sqrt{2}+1$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\frac{1}{2}$
]

答案： B