《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

9. 如果一个一元二次方程的二次项是$ 2x^{2} $，配方后整理得$ (x-\frac{1}{2})^{2}=1 $，那么原方程的一次项和常数项分别是(C)

A.$ -x,-\frac{3}{4} $
B.$ -2x,-\frac{1}{2} $
C.$ -2x,-\frac{3}{2} $
D.$ x,-\frac{3}{2} $

答案： C

10. 规定：$ a\otimes b=(a+b)b $。如：$ 2\otimes 3=(2+3)×3=15 $。若$ 2\otimes x=3 $，则$ x= $1或-3。

答案： 10.1或-3

11. 若一元二次方程$ x^{2}-4x-1596=0 $的两根为$ a,b $，且$ a＞b $，则$ 3a+b $的值为88。

答案： 11.88

12. 用配方法解方程：
(1) $ \frac{2}{3}x^{2}+\frac{1}{3}x-2=0 $；
(2) $ 3(x-1)(x+2)=x-7 $。

答案： 12.解：
(1)x²+1/2x=3,x²+1/2x+(1/4)²=3+(1/4)²,(x+1/4)²=49/16
∴x=3/2,x₂=-2.
(2)3(x²+x-2)=x-7,3x²+2x=-1,x²+2/3x=-1/3,x²+2/3x+(1/3)²=-1/3+(1/3)²,(x+1/3)²=-2/9
∵-2/9＜0,
∴原方程无实数根.

13. 已知方程$ x^{2}-8x+m=0 $可以通过配方写成$ (x-n)^{2}=6 $的形式，求方程$ x^{2}+8x+m=6 $的解。

答案： 13.解：
∵x²-8x+m=0,
∴(x-4)²=16-m.
∵方程x²-8x+m=0可以通过配方写成(x-n)²=6的形式，
∴16-m=6，解得m=10.把m=10代入x²+8x+m=6，得x²+8x+10=6，即x²+8x=-4.配方，得x²+8x+16=-4+16，即(x+4)²=12.解得x₁=-4+2√3,x₂=-4-2√3.

【例】填空：
(1) $ x^{2}+4x+8=(x+$2$ )^{2}+$4。
$ \because $不论$ x $取何值，$ (x+$2$ )^{2} $总是非负数，即$ (x+$2$ )^{2}\geq0 $，$ \therefore (x+$2$ )^{2}+$4$ \geq $4。$ \therefore $当$ x= $-2时，$ x^{2}+4x+8 $有最小值为4。$ \therefore $原式子的值必为正数。(填“正”或“负”)
(2) $ -x^{2}+2x+4=-(x-$1$ )^{2}+$5。
$ \because $不论$ x $取何值，$ -(x-$1$ )^{2} $总是非正数，即$ -(x-$1$ )^{2}\leq0 $，$ \therefore -(x-$1$ )^{2}+$5$ \leq $5。$ \therefore $当$ x= $1时，$ -x^{2}+2x+4 $有最大值为5。
【方法归纳】用配方法求代数式的最值，需要把代数式配方成$ a(x+h)^{2}+k $的形式，当$ a＞0,x=-h $时，该代数式有最小值$ k $；当$ a＜0,x=-h $时，该代数式有最大值$ k $。

答案： 【例】
(1)2 4 2 2 2 4 4 -2 4 正
(2)1 5 1 1 1 5 5 1 5

1. 不论$ a $为何实数，多项式$ a^{2}+3a+5 $的值一定是(A)

A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定

答案： 1.A

2. 当$ x= $-1时，代数式$ -3x^{2}-6x+1 $有最大(填“大”或“小”)值，其值为4。

答案： 2.-1 大 4

3. 设$ a,b $为实数，求代数式$ a^{2}+b^{2}-4a-2b+6 $的最小值。

答案： 3.解：a²+b²-4a-2b+6=a²-4a+4+b²-2b+1+1=(a-2)²+(b-1)²+1.
∵(a-2)²≥0,(b-1)²≥0,
∴(a-2)²+(b-1)²+1的最小值为1，即代数式a²+b²-4a-2b+6的最小值为1.