《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$EF// CD$，$DE// BC$。
（1）求证：$AF:FD = AD:DB$；
（2）若$AB = 15$，$AD:BD = 2:1$，求$DF$的长。

答案： （1）证明：
∵$EF // CD$，$\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}$．
∵$DE // BC$，$\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$．
$\therefore \frac{AF}{FD}=\frac{AD}{DB}$，即$AF:FD=AD:DB$．（2）
∵$AD:BD=2:1$，$\thereforeBD=\frac{1}{2}AD$．
∵$AB=AD+BD=15$，$\therefore AD+\frac{1}{2}AD=15$．$\therefore AD=10$．
∵$AF:FD=AD:DB$，$\therefore AF:FD=2:1$．$\therefore AF=2DF$．
∵$AD=AF+DF=10$，$\therefore 2DF+DF=10$．$\therefore DF=\frac{10}{3}$．

11. 新考向 阅读理解 请阅读以下材料，并回答相应的问题：
角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图1，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
下面是这个定理的部分证明过程。
证明：如图2，过点$C$作$CE// DA$，交$BA$的延长线于点$E$……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 3$，$BC = 4$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$，则$\triangle ABD$的周长是$\frac{3\sqrt{5}+9}{2}$。

答案： （1）证明：
∵$CE // AD$，$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BA}{EA}$，$\angle2=\angle ACE$，$\angle1=\angle E$．
∵$\angle1=\angle2$，$\therefore \angle ACE=\angle E$．$\therefore AE=AC$．$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$．【一题多
解】过点$D$分别作$DF \perp AB$于点$F$，$DG \perp AC$于点$G$．
∵$AD$平
分$\angle BAC$，$\therefore DF=DG$．$\therefore \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot DF}{\frac{1}{2}AC\cdot DG}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$．
（2）$\frac{3\sqrt{5}+9}{2}$

【例】如图，在$\triangle ABC$中，$AF:FB = 2:3$，延长$BC$至点$D$，使得$BC = 2CD$，则$\frac{AE}{EC}$的值为2。
【提示】过点$C$作$CG// DF$交$AB$于点$G$。
【变式】(2023·郑州枫杨外国语期中)如图，$D$，$E$分别是$\triangle ABC$边$BC$，$AC$上的点，$BD:CD = 2:5$，连结$AD$，$BE$，交点为$F$，$DF:AF = 1:4$，那么$\frac{CE}{AE}$的值是$\frac{7}{8}$。

答案： 2，$\frac{7}{8}$