《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

$1. $不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：　　
$(1) x^{2}+5x - 1 = 0$：$x_{1}+x_{2}=$　　$-5$　　，$x_{1}x_{2}=$　　$-1$　　；　　
$(2) -x^{2}+6x - 2 = 0$：$x_{1}+x_{2}=$　　$6$　　，$x_{1}x_{2}=$　　$2$　　；　　
$(3) 4x^{2}+1 = 7x$：$x_{1}+x_{2}=$　　$\frac{7}{4}$　　，$x_{1}x_{2}=$　　$\frac{1}{4}$　　；　　
$(4) 3x^{2}-1 = 0$：$x_{1}+x_{2}=$　　$0$　　，$x_{1}x_{2}=$　　$-\frac{1}{3}$　　。　　

答案： $1.(1)-5 -1 (2)6 2 (3)\frac{7}{4} \frac{1}{4} (4)0 -\frac{1}{3}$

2. 已知$x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+2x - k - 1 = 0$的两根，且$x_{1}x_{2}=-3$，则$k$的值为(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.B

3. 若一元二次方程$x^{2}-x - 2 = 0$的两根为$x_{1}$，$x_{2}$，则$(1 + x_{1})+x_{2}(1 - x_{1})$的值是(A)

A.4
B.2
C.1
D.-2

答案： 3.A

4. 已知$x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x - 1 = 0$的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$；(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$。

答案： 4.解：由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=3,x_{1}x_{2}=-1$。
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=$
$\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{3}{-1}=-3$。
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=3^{2}-2×$
$(-1)=11$。

5. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m + 3)x + m^{2}=0$有两个不相等的实数根$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$，则$m$的值是3。

答案： 5.3

6. (2023·南阳社旗县期中)不解方程，$3x^{2}-5x - 9 = 0$的两个根的符号(B)

A.同号
B.异号
C.都为正
D.不能确定

答案： 6.B

7. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5。则原来的方程是(B)

A.$x^{2}+6x + 5 = 0$
B.$x^{2}-7x + 10 = 0$
C.$x^{2}-5x + 2 = 0$
D.$x^{2}-6x - 10 = 0$

答案： 7.B

8. (2023·乐山改编)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-8x + m = 0$的两个根为$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}=3x_{2}$，则$m$的值为12。

答案： 8.12

9. (2023·襄阳)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根。
(1)求$k$的取值范围；
(2)若方程的两个根为$\alpha$，$\beta$，且$k^{2}=\alpha\beta + 3k$，求$k$的值。

答案： 9.解：
(1)
∵方程有两个不相等的实数，
∴$\Delta＞0$，即$2^{2}-4×1×(3-k)=-8 + 4k＞0$。
∴$k＞2$。
(2)根据题意，得$\alpha\beta=3 - k$。
∴$k^{2}=3 - k + 3k$，解得$k_{1}=3,k_{2}=-1$。
∵$k＞2$，
∴$k$的值为3。

10. 已知$a$，$b$分别满足$a^{2}-6a + 4 = 0$，$b^{2}-6b + 4 = 0$，则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值是2或7。

答案： 10.2或7