《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

10. （2023·郑州二七区月考）如图，$\angle MAN = 30^{\circ}$，点$B$，$C$分别在$AM$，$AN$上，且$\angle ABC = 40^{\circ}$.
（1）尺规作图：作$\angle CBM$的平分线$BD$，$BD$与$AN$相交于点$D$；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求证：$\triangle ABC \backsim \triangle ADB$.

答案：
10.解：
(1)
(2)证明：
∵∠ABC = 40°,
∴∠MBC = 140°.
∵BD平分∠MBC,
∴$∠MBD = \frac{1}{2}∠MBC = 70°. $
∴∠ADB = ∠MBD - ∠A = 70° - 30° = 40°.
∴∠ABC = ∠ADB.
∵∠A = ∠A,
∴△ABC∽△ADB.

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$BD$平分$\angle ABC$，$E$为$BC$上一点，$\angle BDE = \angle BAD = 90^{\circ}$.
(1)求证：$BD^{2} = BA \cdot BE$；
(2)若$AB = 6$，$BE = 8$，则$CD$的长_____w.

答案： 11.解：
(1)证明：
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD = ∠CBD.又
∵∠BDE = ∠BAD = 90°,
∴△ABD∽△DBE.
∴$\frac{BA}{BD} = \frac{BD}{BE}. $
∴$BD^2 = BA·BE.(2)4\sqrt{3}$

12. 新考向 阅读理解 阅读探究：
如图1，在四边形$ABCD$的边$AB$上任取一点$E$，点$E$不与$A$，$B$重合，分别连结$ED$，$EC$，可以把四边形$ABCD$分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们把$E$叫做四边形$ABCD$边$AB$上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把$E$叫做四边形$ABCD$边$AB$上的强相似点.
(1)如图1，若$\angle A = \angle B = \angle DEC = 40^{\circ}$，试判断点$E$是不是四边形$ABCD$的边$AB$上的相似点？是；(填“是”或“不是”)
(2)如图2，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，直角顶点$C$在直线$DE$上，分别过点$A$，$B$作$AD \perp DE$于点$D$，$BE \perp DE$于点$E$，试判断点$C$是不是四边形$ABED$边$DE$上的相似点，并说明理由；
(3)如图3，$AD // BC$，$DP$平分$\angle ADC$，$CP$平分$\angle BCD$交$DP$于点$P$，过点$P$作$AB \perp AD$于点$A$，交$BC$于点$B$，求证：点$P$是四边形$ABCD$边$AB$上的一个强相似点.

答案： 12.解：
(1)是
(2)点C是四边形ABED边DE上的相似点.理由：
∵∠ACB = 90°,
∴∠ACD + ∠BCE = 90°.
∵AD⊥DE,
∴∠ADC = 90°.
∴∠ACD + ∠DAC = 90°.
∴∠DAC = ∠ECB.
∵BE⊥DE,
∴∠BEC = ∠ADC = 90°.
∴△ADC∽△CEB.
∴点C是四边形ABED边DE上的相似点.
(3)证明：
∵DP平分∠ADC,
∴2∠ADP = 2∠PDC = ∠ADC.
∵CP平分∠BCD,
∴2∠BCP = 2∠PCD = ∠BCD.
∵AD//BC,
∴∠ADC + ∠BCD = 180°.
∴2∠PDC + 2∠PCD = 180°.
∴∠PDC + ∠PCD = 90°.
∴∠DPC = 90°.
∵AB⊥AD,
∴∠A = ∠DPC = 90°.
∵∠ADP = ∠PDC,
∴△ADP∽△PDC.同理, △PDC∽△BPC,
∴△ADP∽△PDC∽△BPC.
∴点P是四边形ABCD边AB上的一个强相似点.