《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

10. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似(B)


A.①处
B.②处
C.③处
D.④处

答案： B

11. 如图，在边长为 $1$ 的正方形网格中有点 $P,A,B,C$，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是$\triangle APB\sim\triangle CPA$。

答案： $\triangle APB\sim\triangle CPA$

12. 如图，在边长为 $1$ 的小正方形组成的网格中，$\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 的顶点都在格点上，$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ 是 $\triangle DEF$ 边上的 $5$ 个格点，请按要求完成下列各题：
(1) 求证：$\triangle ABC$ 是直角三角形；
(2) 判断 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 是否相似，并说明理由；
(3) 画一个三角形，使它的顶点为 $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ 中的 $3$ 个格点，并且与 $\triangle ABC$ 相似。

答案：
解：
(1)证明：根据勾股定理，得$AB = 2\sqrt{5}$，$AC = \sqrt{5}$，$BC = 5$，$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$. $\therefore\triangle ABC$为直角三角形.
(2)$\triangle ABC\sim\triangle DEF$. 理由：根据勾股定理，得$AB = 2\sqrt{5}$，$AC = \sqrt{5}$，$BC = 5$，$DE = 4\sqrt{2}$，$DF = 2\sqrt{2}$，$EF = 2\sqrt{10}$，$\therefore\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$.
$\therefore\triangle ABC\sim\triangle DEF$.
(3)

13. 【类比思想】学习“图形的相似”后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
(1) “满足一边一锐角对应相等或两直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地可以得到“满足一个锐角对应相等或两直角边对应成比例的两个直角三角形相似”；
(2) “满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地可以得到“满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”。
请结合下列所给图形，写出已知，并完成说明过程。
已知：如图，在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中，$\angle C=\angle C' = 90^{\circ}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$。
试说明：$Rt\triangle ABC\backsim Rt\triangle A'B'C'$。

答案： 解：
(1)一个锐角对应相等 两直角边对应成比例
(2)斜边和一条直角边对应成比例 在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中，$\angle C=\angle C' = 90^{\circ}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$，则$AB = kA'B'$，$AC = kA'C'$. 在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle A'B'C'$中，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}}{\sqrt{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=\frac{\sqrt{k^{2}A'B'^{2}-k^{2}A'C'^{2}}}{\sqrt{A'B'^{2}-A'C'^{2}}}=k$，$\therefore\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$. $\therefore Rt\triangle ABC\sim Rt\triangle A'B'C'$.