《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

9. 在$Rt\triangle ABC$中，如果各边长度都扩大为原来的$2$倍，那么锐角$\angle A$的正弦值(D)

A.扩大为原来的$2$倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C.扩大为原来的$4$倍
D.没有变化

答案： 9.D

$10. $如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 3，$$BC = 4，$则$\sin B$的值为　　$\frac{\sqrt{5}}{3}$　　。　　

答案： $10.\frac{\sqrt{5}}{3}$

11. 如图，在网格中，小正方形的边长均为$1$，点$A$，$B$，$C$都在格点上，则$\angle ABC$的正切值是(D)

A.$2$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 11.D

12. (本课时 T11 变式)如图，点$A$，$B$，$C$在正方形网格的格点上，则$\sin \angle BAC =$(B)

A.$\frac{\sqrt{2}}{6}$
B.$\frac{\sqrt{26}}{26}$
C.$\frac{\sqrt{26}}{13}$
D.$\frac{\sqrt{13}}{13}$

答案： 12.B

13. 如图，已知$E$是矩形$ABCD$的对角线$AC$上的一动点，正方形$EFGH$的顶点$G$，$H$都在边$AD$上。若$AB = 3$，$BC = 4$，则$\tan \angle AFE$的值(A)

A.等于$\frac{3}{7}$
B.等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.等于$\frac{3}{4}$
D.随点$E$位置的变化而变化

答案： 13.A

$14. $新考向$ $数学文化$ $我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作$《$周髀算经$》$作注解时，用$4$个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为$“$弦图$”，$它体现了中国古代数学的成就。如图，已知大正方形$ABCD$的面积是$100，$小正方形$EFGH$的面积是$4，$那么$\cos \angle ADF =$　　$\frac{4}{5}$　　。　　

答案： $14.\frac{4}{5}$

15. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 10$，$BC = 8$，$E$为边$AD$上一点，沿$CE$将$\triangle CDE$对折，使点$D$正好落在边$AB$上的点$F$处，求$\tan \angle AFE$的值。

答案： 15.解：根据图形有$\angle AFE+\angle EFC+\angle BFC=180^{\circ},$根据折叠的性
质，得$\angle EFC=\angle D=90^{\circ},CF=CD,$即$\angle AFE+\angle BFC=90^{\circ}.$
而在$Rt\triangle BFC$中，有$\angle BCF+\angle BFC=90^{\circ}, $
∴$\angle AFE=$
$\angle BCF.$在$Rt\triangle BFC$中，BC=8,CF=CD=10,由勾股定理，得
$BF=\sqrt{CF^{2}-BC^{2}}=6.$则$\tan\angle BCF=\frac{BF}{BC}=\frac{3}{4}.$故$\tan\angle AFE$
$=\tan\angle BCF=\frac{3}{4}.$

$16. $如图，在平面直角坐标系中，点$A，$$B$分别在$x$轴负半轴和$y$轴正半轴上，点$C$在$OB$上，$OC:BC = 1:2，$连结$AC，$过点$O$作$OP // AB$交$AC$的延长线于点$P。$若$P(1,1)，$则$\sin \angle OAP$的值是　　$\frac{\sqrt{10}}{10}$　　。　　

答案： $16.\frac{\sqrt{10}}{10}$