《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

5. 若 $x = 5 - \sqrt{7}$，其中 $x$ 的整数部分是 $a$，小数部分是 $b$，求 $a^2 + (3 + \sqrt{7})ab$ 的值。

答案： 5.解：$\because\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，$\therefore2＜5 - \sqrt{7}＜3$。$\therefore5 - \sqrt{7}$的整数部分$a = 2$。$\therefore$小数部分$b = 5 - \sqrt{7}-2=3 - \sqrt{7}$。$\therefore a^{2}+(3 + \sqrt{7})ab=2^{2}+(3 + \sqrt{7})×2×(3 - \sqrt{7})=8$。

6. 【整体思想】已知 $x = 1 - \sqrt{2}$，$y = 1 + \sqrt{2}$。
(1) 求 $x^2y - xy^2$ 的值；
(2) 求 $x^2 + y^2 - xy - 2x + 2y$ 的值。

答案： 6.解：$\because x = 1-\sqrt{2},y = 1+\sqrt{2}$，$\therefore x - y=(1-\sqrt{2})-(1+\sqrt{2})=-2\sqrt{2},xy=(1 - \sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1$。
(1)原式=$xy(x - y)=-1×(-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}$。
(2)原式=$(x - y)^{2}-2(x - y)+xy=(-\sqrt{2})^{2}-2×(-2\sqrt{2})+(-1)=8 + 4\sqrt{2}-1=7 + 4\sqrt{2}$。

7. 已知实数 $a$，$b$，定义“★”运算规则如下：$a★b = \begin{cases} b(a \leq b), \\ \sqrt{a^2 - b^2}(a ＞ b), \end{cases}$ 求 $\sqrt{7}★(\sqrt{2}★\sqrt{3})$ 的值。

答案： 7.解：由题意，得$\sqrt{2}★\sqrt{3}=\sqrt{3}$。$\therefore\sqrt{7}★(\sqrt{2}★\sqrt{3})=\sqrt{7}★\sqrt{3}=\sqrt{7 - 3}=2$。

8. 已知 $a$，$b$ 都是实数，若 $a + b = 2$，则称 $a$ 与 $b$ 是关于 1 的“平衡数”。
(1) 3 与是关于 1 的“平衡数”，$5 - \sqrt{2}$ 与是关于 1 的“平衡数”；
(2) 若 $(m + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = -5 + 3\sqrt{3}$，判断 $m + \sqrt{3}$ 与 $5 - \sqrt{3}$ 是不是关于 1 的“平衡数”，并说明理由。

答案： 8.解：
(1)$-1$ $-3+\sqrt{2}$
(2)不是，理由如下：$\because(m+\sqrt{3})(1 - \sqrt{3})=m-\sqrt{3}m+\sqrt{3}-3=-5 + 3\sqrt{3}$，$\therefore m-\sqrt{3}m=-2 + 2\sqrt{3}$，即$m(1 - \sqrt{3})=-2(1 - \sqrt{3})$，解得$m = - 2$。则$-2+\sqrt{3}+5 - \sqrt{3}=3\neq2$。$\therefore m+\sqrt{3}$与$5 - \sqrt{3}$不是关于$1$的“平衡数”。

9. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^2$，善于思考的小明进行了以下探索：设 $a + b\sqrt{2} = (m + n\sqrt{2})^2$(其中 $a$，$b$，$m$，$n$ 均为正整数)，则有 $a + b\sqrt{2} = m^2 + 2n^2 + 2\sqrt{2}mn$，$\therefore a = m^2 + 2n^2$，$b = 2mn$。这样小明就找到了一种把 $a + b\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法。
(1) 当 $a$，$b$，$m$，$n$ 均为正整数时，若 $a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2$，用含 $m$，$n$ 的式子分别表示 $a$，$b$，得 $a =$，$b =$；
(2) 利用所探索的结论，找一组正整数 $a$，$b$，$m$，$n$ 填空： + = ( + )$^2$；
(3) 若 $a + 4\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2$，且 $a$，$m$，$n$ 均为正整数，求 $a$ 的值。

答案： 9.解：
(1)$m^{2}+3n^{2}$ $2mn$
(2)$4$ $2\sqrt{3}$ $1$ $\sqrt{3}$(答案不唯一)
(3)根据题意，得$\begin{cases}a = m^{2}+3n^{2}\frac{a}{4}=2mn\end{cases}$，$\because2mn = 4$，且$m,n$为正整数，$\therefore m = 2,n = 1$或$m = 1,n = 2$。$\therefore a = 7$或$13$。