《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

11. (本课时 T10 变式)若关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-3x + 2 = 1$ 有实数根，求 $k$ 的取值范围。

答案： 11.解：①当k=0时,原方程为-3x+2=1,解得$x=\frac{1}{3}.$
∴k=0符合题意;②当k≠0时,此时原方程为一元二次方程.化简,得$kx^{2}-3x+1=0.$
∴$△=(-3)^{2}-4k≥0,$解得$k≤\frac{9}{4}.$
∴$k≤\frac{9}{4}$且k≠0.综上所述,k的取值范围是$k≤\frac{9}{4}.$

12. (2024·南阳新野县期中)已知实数 $m$，$n$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，则关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+x + m + n = 0$ 的根的情况是(A)


A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： 12.A

13. 若一元二次方程 $x^{2}-4x + a = 0$ 无实数根，则一次函数 $y=(a - 4)x + a$ 的图象不经过(D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 13.D

14. 新考向 新定义问题 (2024·宿迁)规定：对于任意实数 $a$，$b$，$c$，有【$a$，$b$】★$c = ac + b$，其中等式右边是通常的乘法和加法运算。例如：【$2$，$3$】★$1 = 2×1 + 3 = 5$。若关于 $x$ 的方程【$x$，$x + 1$】★$(mx)=0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围为(D)

A.$m\lt\frac{1}{4}$
B.$m\gt\frac{1}{4}$
C.$m\gt\frac{1}{4}$ 且 $m\neq0$
D.$m\lt\frac{1}{4}$ 且 $m\neq0$

答案： 14.D

15. (2023·南阳镇平县月考)已知 $□ ABCD$ 的两边 $AB$，$BC$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$ 的两个实数根。
(1) 求证：无论 $m$ 取何值，方程总有两个实数根；
(2) 当 $m$ 为何值时，四边形 $ABCD$ 是菱形？求出这时菱形的边长。

答案： 15.解：
(1)证明：
∵$△=(-m)^{2}-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}≥0,$
∴无论m取何值,方程总有两个实数根.
(2)
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,即$(m-1)^{2}=0.$
∴m=1. 方程为$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0,$解得$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}. $
∴菱形ABCD的边长为$\frac{1}{2}.$

16. (2023·南阳宛城区期中)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$，其中 $a$，$b$，$c$ 分别为 $\triangle ABC$ 三边的长。
(1) 如果 $x = - 1$ 是方程的根，试判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由；
(3) 如果 $\triangle ABC$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。

答案： 16.解：
(1)△ABC是等腰三角形.理由：把x=-1代入方程,得a+c-2b+a-c=0,
∴a=b.
∴△ABC是等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形.理由：根据题意,得$△=(2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0,$
∴$b^{2}+c^{2}=a^{2}. $
∴△ABC是直角三角形.
(3)
∵△ABC是等边三角形,
∴a=b=c.
∴方程化为$x^{2}+x=0,$解得$x_{1}=0,x_{2}=-1.$