《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

5. 新考向 推理能力(2024·南阳南召县期中)图1、图2、图3均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法：
(1)如图1，连结AD，BC相交于点E，直接写出$\frac{CE}{BE}$的值为2；
(2)如图2，在BC上找一点F，使BF=4；
(3)如图3，在AC上找一点M，使△ABM的面积为$\frac{8}{5}$，并写出证明.

答案：

(1)2
(2)
(3)
证明：如图3，
连接PQ交AC于点M，连结BM。依题意，得
PA = 2，CQ = 3，AC = 4，AB = 2，AP//CQ，
∴△APM∽△CQM。
∴MCAM​=CQAP​=32​，
∴AM = 32​MC。
∵AC = AM + MC = 35​MC，AC = 4，
∴MC = 512​。
∴AM = AC - MC = 4 - 512​ = 58​。
∴S△ABM​=21​AM⋅AB=21​×58​×2=58​。

6. (2023·大庆)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M.若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是△MCB.

答案： △MCB

7. 如图，E是线段BC的中点，∠B=∠C=∠AED，下列结论：①△ABE与△ECD相似；②△ABE与△AED相似；③$\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AD}$；④∠BAE=∠EAD.其中正确的是(A)

A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①②④

答案： A

8. (2024·南阳新野县期中)如图，在等边三角形ABC中，BC=6，E是边AB上一点，且BE=2，D是边BC上一动点(E，D两点均不与端点重合)，作∠EDF=60°，DF交边AC于点F.
(1)求证：△BED∽△CDF；
(2)连结EF，若EF//BC，求CD的长；
(3)若CF=m，当满足条件的点D有且只有一个时，直接写出m的值.

答案：
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B = ∠C = 60°。
∴∠BED + ∠BDE = 180° - ∠B = 120°。
∵∠EDF = 60°，
∴∠BDE + ∠CDF = 120°。
∴∠BED = ∠CDF。
∴△BED∽△CDF。
(2)
∵△ABC是等边三角形，
∴AB = AC。
∵EF//BC，
∴∠AEF = ∠B = 60°，∠AFE = ∠C = 60°。
∴AE = AF。
∴BE = CF = 2。
∵△BED∽△CDF，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{CF}$，
∴$\frac{2}{CD}=\frac{6 - CD}{2}$，
∴CD = 3±$\sqrt{5}$。
∴CD的长为3 + $\sqrt{5}$或3 - $\sqrt{5}$。
(3)m = $\frac{9}{2}$。