《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

10. (2024·南阳西峡县期中)估算$\frac{\sqrt{98}+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$的值(D)

A.在6和7之间
B.在7和8之间
C.在8和9之间
D.在9和10之间

答案： 10.D

11. 新考向 开放性问题(2023·潍坊)从$-\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$中任意选择两个数，分别填在算式$(□+◯)^2÷\sqrt{2}$的“$□$”与“$◯$”中，计算该算式的结果是$\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}$。(只需写出一种结果)

答案： 11.$\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}$(答案不唯一)

12. 新考向 推理能力观察下列等式：
①$3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2$；
②$5-2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$；
③$7-2\sqrt{12}=(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2$；
……
请你根据以上规律，写出第6个等式：$13-2\sqrt{42}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2$。

答案： 12.$13-2\sqrt{42}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})^2$

13. 计算：

(1)$(\sqrt{3}-2)^2-\frac{\sqrt{18}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2)$(\sqrt{3}+2)^{2024}(\sqrt{3}-2)^{2025}+\sqrt{27}(1-\sqrt{3})$。

答案： 13.解：
(1)原式=$3-4\sqrt{3}+4-(3-2)=6-4\sqrt{3}$.
(2)原式=$(\sqrt{3}+2)^{2024}(\sqrt{3}-2)^{2024}(\sqrt{3}-2)+3\sqrt{3}(1-\sqrt{3})=[(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)]^{2024}(\sqrt{3}-2)+3\sqrt{3}-9=\sqrt{3}-2+3\sqrt{3}-9=4\sqrt{3}-11$.

14. 已知$a=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，$b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$。求下列各式的值：
(1)$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$；(2)$a^2-3ab+b^2$。

答案： 14.解：
(1)$\because a=\sqrt{7}+\sqrt{5},b=\sqrt{7}-\sqrt{5},\therefore a+b=2\sqrt{7},ab=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=2.\therefore$原式=$\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{(2\sqrt{7})^2-2×2}{2}$
12.
(2)原式=$(a+b)^2-5ab=(2\sqrt{7})^2-5×2=18$.

15. 在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$的式子，对于这类式子，我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化。
例如：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$；
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{1×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
(1)用上述方法化简：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$；
(2)计算：$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}})×(\sqrt{2025}+1)$。

答案： 15.解：
(1)$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
(2)原式=$(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2025}-\sqrt{2024})×(\sqrt{2025}+1)=(\sqrt{2025}-1)×(\sqrt{2025}+1)=2025-1=$2024.