《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

12. 已知关于 $x$ 的方程$(k + 1)x^{k^{2}+1}+(k - 3)x - 1 = 0$.
(1)当 $k=$1时,它是一元二次方程；
(2)当 $k=$-1 或 0时,它是一元一次方程.

答案：
(1)1
(2)-1 或 0

13. 已知将一元二次方程 $2x^{2}-(m + 1)x + 1 = x(x - 1)$化成一般形式后一次项的系数为$-2$,则 $m$ 的值为 (D)

A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$

答案： D

14. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}-bx - 2025 = 0$满足 $a + b - 2025 = 0$,则方程必有一根为 (B)

A.$1$
B.$-1$
C.$2$
D.无法确定

答案： B

15. 新考向 数学文化 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家.他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”.他所著《田亩比类乘除算法》(1275 年)提出的这样一个问题:“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步).问阔及长各几步.”若设阔为 $x$ 步,则可列方程为 (A)


A.$x(x + 12)=864$
B.$x(x - 12)=864$
C.$x(x + 6)=864$
D.$x(x - 6)=864$

答案： A

16. 根据下列问题设未知数列方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)小明用 $30cm$ 的铁丝围成一个斜边长为$13cm$ 的直角三角形,求该直角三角形的两直角边长；
(2)为响应“足球进校园”的号召,某校组织足球比赛,赛制为单循环形式(每两个队之间都要比赛一场),计划安排 $28$ 场比赛,求参赛的足球队个数.

答案： 解：
(1)设该直角三角形的一直角边长为 x cm，则另一直角边长为(17 - x)cm.根据题意，得$ x^{2}+(17 - x)^{2}=13^{2}.$整理，得$ 2x^{2}-34x + 120=0。$
(2)设参赛的足球队有 x 个.根据题意，得$\frac{x(x - 1)}{2}=28.$整理，得$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x - 28=0。$

17. 【整体思想】若 $a$ 是方程 $x^{2}-2024x + 1 = 0$ 的一个根,求代数式 $a^{2}-2025a+\frac{a^{2}+1}{2024}$的值.

答案： 解：由题意，得$ a^{2}-2024a + 1=0.\therefore a^{2}+1=2024a,a^{2}-2024a=-1.\therefore a^{2}-2025a+\frac{a^{2}+1}{2024}=a^{2}-2024a - a+\frac{2024a}{2024}=-1 - a + a=-1。$