《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

1. 亮亮在解一元二次方程 $x^{2}-6x+□ = 0$ 时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是(D)

A.1
B.0
C.7
D.9

答案： D

2. 在平面直角坐标系中，若直线 $y=-x+m$ 不经过第一象限，则关于 $x$ 的方程 $mx^{2}+x+1 = 0$ 的实数根的个数为(D)

A.0
B.1
C.2
D.1 或 2

答案： D

3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx+m^{2}-3m+3 = 0$ 的两根互为倒数，则 $m$ 的值等于(B)

A.1
B.2
C.1 或 2
D.0

答案： B

4. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}-2x+k - 1 = 0$。
(1) 若这个方程没有实数根，求 $k$ 的取值范围；
(2) 若方程的两个实数根分别为 $m$，$n$，且 $m - n = 3$，求 $k$ 的值。

答案：
(1)
∵方程没有实数根，
∴$\Delta = (-2)^{2}-8(k - 1) ＜ 0$．
∴$k ＞ \frac{3}{2}$．
(2)
∵原方程的两实数根为$m$和$n$，
∴$m + n = 1$，$mn=\frac{k - 1}{2}$．
∵$(m - n)^{2}=(m + n)^{2}-4mn = 1 - 2(k - 1)=9$，
∴$k = - 3$．

5. 已知 $□ ABCD$ 的两边 $AB$，$AD$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx+3m = 0$ 的两个实数根。
(1) 当 $m$ 为何值时，$□ ABCD$ 是菱形？求出这时菱形的边长；
(2) 若 $AB$ 的长为 5，求 $□ ABCD$ 的周长。

答案：
(1)
∵$□ ABCD$是菱形，
∴$AB = AD$．
∴方程$x^{2}-mx + 3m = 0$有两个相等的实数根．
∴$\Delta = (-m)^{2}-12m = 0$．
∴$m_1 = 0$（舍去），
$m_2 = 12$．当$m = 12$时，方程为$x^{2}-12x + 36 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 6$，即菱形的边长为6.
(2)
∵$AB$，$AD$的长是方程$x^{2}-mx + 3m = 0$的两个实数根，$AB = 5$，
∴$AB + AD = m$，5是方程的一个根．
∴$5^{2}-5m + 3m = 0$，解得$m=\frac{25}{2}$．
∴$AB + AD=\frac{25}{2}$．
∴$2(AB + AD)=25$．
∴$□ ABCD$的周长为25.

6. 新考向 新定义问题 设一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a≠0)$ 的两个根为 $x_{1}$，$x_{2}$，若该方程的一个根与另一个根的 2 倍的和为 0，我们就称这个一元二次方程为“两根相反倍数”方程。
(1) 若方程 $2x^{2}+3x+2m - 3 = 0$ 是“两根相反倍数”方程，则 $m=$-3；
(2) 若方程 $x^{2}+2\sqrt{2}x+c = 0$ 是“两根相反倍数”方程，求 $2x_{1}-x_{1}x_{2}$ 的值。

答案：
(1)-3
(2)分两种情况讨论：①设$x_1 + 2x_2 = 0$，则$x_1 = - 2x_2$．
∵$x_1 + x_2 = - 2\sqrt{2}$，
∴$-2\sqrt{2}+x_2 = 0$．
∴$x_2 = 2\sqrt{2}$．
∴$x_1 = - 4\sqrt{2}$．
∴$2x_1 - x_1x_2 = - 8\sqrt{2}-(-4\sqrt{2}×2\sqrt{2})=-8\sqrt{2}+16$；
②设$x_2 + 2x_1 = 0$，则$x_2 = - 2x_1$．
∵$x_1 + x_2 = - 2\sqrt{2}$，
∴$-2\sqrt{2}+x_1 = 0$．
∴$x_1 = 2\sqrt{2}$．
∴$x_2 = - 4\sqrt{2}$．
∴$2x_1 - x_1x_2 = 4\sqrt{2}-2\sqrt{2}×(-4\sqrt{2})=4\sqrt{2}+16$．综上所述，$2x_1 - x_1x_2$的值为$-8\sqrt{2}+16$或