《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

15. 计算:
(1)$\sqrt{48}÷\sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12} + \sqrt{24}$;
(2)$(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) - (2\sqrt{5} - 1)^2$;
(3)$(-2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2$.

答案：
(1)原式=$4\sqrt{3} ÷ \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} × 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6} = 4 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 4 + \sqrt{6}$.
(2)原式=$7^{2} - (4\sqrt{3})^{2} - (20 + 1 - 4\sqrt{5}) = 49 - 48 - 21 + 4\sqrt{5} = 4\sqrt{5} - 20$.
(3)原式=$[(-2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}) + (2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})] × [(-2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}) - (2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})] = (-6\sqrt{2}) × (-4\sqrt{3}) = 24\sqrt{6}$.

16. (2023·新乡封丘县月考)已知$a = 2 - \sqrt{3}$,$b = 2 + \sqrt{3}$.
(1)求$a + b$和$a - b$的值;
(2)求$(a + b)^2 - 6a + 6b - 9$的值.

答案：
(1)$\because a = 2 - \sqrt{3},b = 2 + \sqrt{3},\therefore a + b = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4,a - b = (2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.
(2)由
(1)知，$a + b = 4,a - b = -2\sqrt{3},\therefore$原式=$(a + b)^{2} - 6(a - b) - 9 = 4^{2} - 6 × (-2\sqrt{3}) - 9 = 16 + 12\sqrt{3} - 9 = 7 + 12\sqrt{3}$.

17. 新考向 数学文化 请阅读以下材料,并完成相应的任务.
斐波那契是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰好是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第$n(n \geq 1)$个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n]$表示.这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第$1$个数和第$2$个数.
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答案： 第1个数：当$n = 1$时，$\frac{1}{\sqrt{5}} × (\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) = \frac{1}{\sqrt{5}} × \sqrt{5} = 1$.
第2个数：当$n = 2$时，$\frac{1}{\sqrt{5}} × [(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{2} - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{2}] = \frac{1}{\sqrt{5}} × (\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) × (\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) = \frac{1}{\sqrt{5}} × \sqrt{5} × 1 = 1$.