《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

1. 如图，在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ AD $ 为斜边 $ BC $ 上的高，$ \angle ABC $ 的平分线 $ BE $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，交 $ AD $ 于点 $ F $。求证：$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AF}{CE}$。

答案： 证明：
∵在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，
∴∠C+∠CAD =90°.
∵∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠C.
∵∠ABC的平 分线BE交AC于点E，
∴∠ABF=∠CBE.
∴△ABF∽△CBE.
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AF}{CE}.$

2. (2024·南阳新野县期中) 如图，四边形 $ ABCD $ 为平行四边形，$ E $ 为边 $ BC $ 上一点，连结 $ BD $，$ AE $，它们相交于点 $ F $，且 $ \angle BDA = \angle BAE $。
(1) 求证：$ BE^{2} = EF\cdot AE $；
(2) 若 $ BE = 4 $，$ EF = 2 $，$ DF = 9 $，求 $ AB $ 的长。

答案： 2.解：
(1)证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC.
∴ ∠FBE=∠BDA.
∵∠BDA=∠BAE，
∴∠FBE=∠BAE.
∵ ∠BEF=∠AEB，
∴△EBF∽△EAB.
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{EF}{BE}.$
∴$BE^{2}=EF·AE.(2)$
∵$BE^{2}=EF·AE,BE=4,EF=2，$
∴$AE=\frac{BE^{2}}{EF}=\frac{4^{2}}{2} =8.$
∴AF=AE-EF=8-2=6.
∵BE//AD，
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{EF}{AF},$即$\frac{BF}{9}=\frac{2}{6}，$解得BF=3.
∵△EBF∽△EAB，
∴$\frac{BF}{AB}=\frac{EF}{BE},$即$\frac{3}{AB}=\frac{2}{4}，$
∴AB=6.

3. 如图，在 $ Rt\triangle ABC $ 中有正方形 $ DEFG $，点 $ E $，$ F $ 在斜边 $ BC $ 上，点 $ D $，$ G $ 分别在边 $ AB $，$ AC $ 上。求证：$ EF^{2} = BE\cdot FC $。

答案： 证明：
∵四边形DEFG为正方形，
∴∠DEB=∠GFC=90°.又
∵ ∠B与∠C互余，∠FGC与∠C互余，
∴∠B=∠FGC.
∴ Rt△BED∽Rt△GFC.
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{GF}{FC},$即DE·GF=BE·CF.又
∵ DE=GF=EF，
∴$EF^{2}=BE·FC.$

4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ P $，$ D $ 分别是边 $ BC $，$ AC $ 上的点，且 $ \angle APD = \angle B $。
(1) 求证：$ AC\cdot CD = CP\cdot BP $；
(2) 若 $ AB = 10 $，$ BC = 12 $，当 $ PD// AB $ 时，求 $ BP $ 的长。

答案： 4.解：
(1)
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B，
∴∠APD= ∠C.
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴ ∠BAP=∠DPC.
∴△ABP∽△PCD.
∴$\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{CP}.$
∴AB·CD =CP·BP.
∵AB=AC，
∴AC·CD=CP·BP.
(2)
∵PD//AB，
∴∠APD=∠BAP.
∵∠APD=∠C，
∴∠BAP=∠C.
∵∠B= ∠B，
∴△BAP∽△BCA.
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BP}{BA}.$
∵AB=10,BC=12，
∴$\frac{10}{12} =\frac{BP}{10}$
∴$BP=\frac{25}{3}.$