《2025年名校课堂九年级数学上册华师大版8河南专版》

11. (2023·新乡辉县一中月考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 3x + k = 0 $ 有实数根.
(1) 求 $ k $ 的取值范围;
(2) 如果 $ k $ 是符合条件的最大整数, 且一元二次方程 $ (m - 1)x^{2} + x + m - 3 = 0 $ 与方程 $ x^{2} - 3x + k = 0 $ 有一个相同的根, 求此时 $ m $ 的值.

答案：
(1)根据题意，得$\Delta=(-3)^{2}-4k\geqslant0$，解得$k\leqslant\frac{9}{4}$.
(2)$\because k\leqslant\frac{9}{4}$，$\therefore$符合条件的最大整数$k$为2.$\therefore$方程$x^{2}-3x + k = 0$为$x^{2}-3x + 2 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$.①当相同的根为$x = 1$时，把$x = 1$代入方程$(m - 1)x^{2}+x + m - 3 = 0$，得$m - 1 + 1 + m - 3 = 0$，解得$m=\frac{3}{2}$；②当相同的根为$x = 2$时，把$x = 2$代入方程$(m - 1)x^{2}+x + m - 3 = 0$，得$4(m - 1)+2 + m - 3 = 0$，解得$m = 1$.$\because m - 1\neq0$，$\therefore m\neq1$.综上所述，$m$的值为$\frac{3}{2}$.

12. (2023·新乡辉县市期中)读诗词, 列方程: 大江东去浪淘尽, 千古风流人物; 而立之年督东吴, 早逝英年两位数, 十位恰小个位三, 个位平方与寿符. 诗词大意: 周瑜英年早逝, 逝世时的年龄是一个两位数, 十位数字比个位数字小 3, 个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄. 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 $ x $, 则列出的方程正确的是 (B)

A.$ 10x + (x - 3) = x^{2} $
B.$ 10(x - 3) + x = x^{2} $
C.$ 10x + (x - 3) = (x - 3)^{2} $
D.$ 10(x - 3) + x = (x - 3)^{2} $

答案： B

13. (2024·安阳滑县月考)某型号铝塑板材 7 月份价格为 50 元 $ /m^{2} $, 9 月份价格为 72 元 $ /m^{2} $. 若 7 至 9 月价格的增长率相同, 则每月增长的百分率是$20\%$.

答案： $20\%$

14. 新考向 真实情境 (2024·平顶山月考)某社区为了解决停车难的问题, 利用一块矩形空地 $ ABCD $ 建了一个小型停车场, 其布局如图所示. 已知 $ AD = 58m,AB = 22m $, 阴影部分设计为停车位, 其余部分均为宽度为 $ xm $ 的道路. 已知停车位的面积 (即阴影面积) 为 $ 700m^{2} $.
(1) 求道路的宽;
(2) 该停车场共有 70 个车位, 据调查分析, 当每个车位的月租金为 300 元时, 可全部租出; 若每个车位的月租金每上涨 5 元, 就会少租出 1 个车位. 当每个车位的月租金上涨多少元时, 停车场的月租金收入为 21 120 元, 同时尽可能让利于居民?
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答案：
(1)由题意，得$(58 - 2x)(22 - 2x)=700$，整理，得$x^{2}-40x + 144 = 0$，解得$x_{1}=36$(不合题意，舍去)，$x_{2}=4$.答：道路的宽是4m.
(2)设每个车位的月租金上涨$y$元.由题意，得$(300 + y)(70-\frac{y}{5})=21120$，整理，得$y^{2}-50y + 600 = 0$，解得$y_{1}=20$，$y_{2}=30$.$\because$尽可能让利于居民，$\therefore y = 20$.答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为21120元.

15. 新考向 传统文化 (2023·鹤壁外国语期中)我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法, 以方程 $ x^{2} + 5x = 14 $ 为例, 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是: 构造如图所示的大正方形 $ ABCD $, 它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成, 根据面积关系可求得 $ AB $ 的长, 从而解得 $ x $. 根据此法, 图中正方形 $ ABCD $ 的面积是81.
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答案： 81