《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

12. 若$x = -1是关于x的一元二次方程ax^{2}+bx - 1 = 0$的一个根,则$a - b$的值为 (A)
A.$1$
B.$-2$
C.$-1$
D.$2$

答案： A

13. (2023·烟台海阳市期末)观察下列表格,一元二次方程$x^{2}-3x = 4.6$的一个近似解为(B)

A.$-1.123$
B.$-1.117$
C.$-1.089$
D.$-1.073$

答案： B

14. 已知$m为方程x^{2}+3x - 2022 = 0$的一个根,那么$m^{3}+4m^{2}-2019m - 2023$的值为-1.

答案： -1

15. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq 0)$,下列说法:
①若方程有一根$x = -1$,则$b - a - c = 0$;
②若$a + b + c = 0$,则方程必有一个根为$x = 1$;
③若方程$a(x - 1)^{2}+b(x - 1)+c = 0的两个根是x_{1}= 2,x_{2}= 5$,则方程$ax^{2}+bx + c = 0的两个根为x_{1}= 1,x_{2}= 4$;
④若$c是方程ax^{2}+bx + c = 0$的一个根,则一定有$ac + b + 1 = 0$成立.
其中正确的是①②③.(填序号)

答案： ①②③

16. 已知一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0的一个根为1$,且$a,b满足b= \sqrt{a - 2}+\sqrt{2 - a}+3$,求$c$的值.

答案： 答：由$b = \sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a} + 3$，
根据二次根式有意义的条件得：
$\begin{cases}a - 2\geq0,\\2 - a\geq0.\end{cases}$
解得$a = 2$，
则$b = 3$。
把$x = 1$，$a = 2$，$b = 3$代入一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$中，
得$2×1^{2}+3×1 + c = 0$，
$2 + 3 + c = 0$，
解得$c = - 5$。

17. 已知$a是一元二次方程x^{2}-2023x + 1 = 0$的一个根,试求$a^{2}-2022a-\frac{a^{2}+1}{2023}$的值.

答案： $-1$

18. 已知$x^{3 - a}+3x - 10 = 0和x^{3b - 4}+6x + 8 = 0$都是一元二次方程,求$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2020}\cdot(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2022}$的值.

答案： 解:
∵$x^{3-a}+3x-10=0$和$x^{3b-4}+6x+8=0$都是一元二次方程,
∴$3-a=2,3b-4=2$,解得$a=1,b=2$.
∵$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2020}\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2022}=[(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})]^{2020}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=(a-b)^{2020}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$,当$a=1,b=2$时,原式$=(1-2)^{2020}(1+\sqrt{2})^{2}=(1+\sqrt{2})^{2}=3+2\sqrt{2}$.