《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

7. (2023·山东潍坊中考)如图,正方形ABCD内接于⊙O,在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上取一点E,连接AE,DE,过点A作AG⊥AE,交⊙O于点G,交DE于点F,连接CG,DG.
(1)求证：△AFD≌△CGD；
(2)若AB= 2,∠BAE= 30°,求阴影部分的面积.
]

答案：
(1)证明:
∵AG⊥AE,
∴∠EAG=90°,
∴∠EDG=∠EAG=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADC=90°.
∵∠ADF+∠FDC=∠CDG+∠FDC=90°,
∴∠ADF=∠CDG.在△ADF和△CDG中,{∠GAD=∠GCD,AD=CD,∠ADF=∠CDG,
∴△ADF≌△CDG.
(2)解:如图,过点D作DH⊥AG于点H,连接OA,OD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,∠AGD=1/2∠AOD=1/2×90°=45°,
∴∠DAG+∠BAG=∠BAE+∠BAG=90°,
∴∠DAG=∠BAE=30°.
∵DH⊥AG,
∴∠DHG=90°,
∴△HDG和△DFG都是等腰直角三角形.在Rt△ADH中,∠DAG=30°,
∴DH=1/2AD=1/2×2=1,AH=√(AD²-DH²)=√3,
∴AG=AH+HG=√3+1,DF=DG=√2DH=√2,
∴S△ADF=S△ADG-S△DFG=1/2×(√3+1)×1-1/2×√2×√2=(√3-1)/2.
∵OA=OD,∠AOD=90°,
∴△AOD是等腰直角三角形,
∴OA=√2/2AD=√2,
∴S弓形AD=S扇形AOD-S△AOD=90π(√2)²/360-1/2×√2×√2=π/2-1,
∴S阴影=S△ADF+S弓形AD=(√3-1)/2+π/2-1=(√3+π-3)/2.

8. (2023·山东潍坊中考)[多选题]发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动,图①是发动机的实物剖面图,图②是其示意图,图②中,点A在直线l上往复运动,推动点B做圆周运动形成⊙O,AB与BO表示曲柄连杆的两直杆,点C,D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时,点B到达C；当点A运动到F时,点B到达D.若AB= 12,OB= 5,则下列结论正确的是(AC)

A.FC= 2
B.EF= 12
C.当AB与⊙O相切时,EA= 4
D.当OB⊥CD时,EA= AF

答案： 8.AC [提示:由题意得AB=CE=12,AB+BO=OE=17,FD=AB=12,OC=OB=OD=5,
∴FC=FD-CD=12-10=2,故A符合题意.EF=CE-CF=12-2=10,故B不符合题意.如图①,当AB与⊙O相切时,∠ABO=90°,
∴AO=√(AB²+OB²)=13,
∴EA=EO-AO=17-13=4,故C符合题意.如图②,当OB⊥CD时,
∴AO=√(12²-5²)=√119,
∴AE=EO-AO=17-√119,AF=AO-OF=√119-2-5=√119-7,
∴AE≠AF,故D不符合题意.

9. 如图,点A,C,N的坐标分别为(-2,0),(2,0),(4,3),以点C为圆心、2为半径画⊙C,点P在⊙C上运动,连接AP,交⊙C于点Q,点M为线段QP的中点,连接MN,则线段MN的最小值为3.
]

答案： 9.3 [提示:如图①,连接CM,OM,
∵A(-2,0),C(2,0),
∴AC=4,O是AC的中点.
∵M是QP的中点,
∴CM⊥QP,
∴∠AMC=90°,
∴OM=1/2AC=2,
∴点M在以O为圆心,以2为半径的⊙O上.如图②,当O,M,N三点共线时,MN有最小值,
∵N(4,3),
∴ON=√(4²+3²)=5.
∵OM=2,
∴MN=ON-OM=5-2=3,
∴线段MN的最小值为3.

10. (新趋势)如图①,已知⊙O的两条弦AB,CD相交于点M,AB= CD,设⊙O的半径为r.
(1)求证：DM= BM；
(2)若∠DMB= 100°,r= 1,求劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长；
(3)如图②,若AB⊥CD,∠AOD= 120°,设MB= a,求证：$\dfrac{r}{a}= \sqrt{2}$.
]

答案：
(1)证明:连接BD,
∵AB=CD,
∴⌒AB=⌒CD,即⌒AC+⌒BC=⌒AC+⌒AD,
∴⌒BC=⌒AD,
∴∠B=∠D,
∴BM=DM.
(2)解:连接OC,OB,
∵∠DMB=100°,∠B=∠D,
∴∠D=1/2×(180°-100°)=40°,
∴∠BOC=2∠D=80°,
∴劣弧⌒BC的长=80·π×1/180=4π/9.
(3)证明:如图,连接AC,BD,AD,MO,延长MO交AD于点H,
∵AB=CD,
∴⌒AB=⌒CD,
∴⌒AB-⌒BC=⌒CD-⌒BC,即⌒AC=⌒BD,
∴AC=BD,
∴∠ADC=∠BAD,
∴AM=DM.
∵∠AOD=120°,
∴∠ABD=60°,
∴∠BDM=30°,
∴BD=2BM=2a,
∴AM=DM=√(BD²-BM²)=√3a,
∴AD=√(AM²+DM²)=√6a.
∵AM=DM,AO=DO,
∴MO垂直平分AD,
∴∠AOH=60°,AH=1/2AD=√6a/2,
∴AH=√3/2AO=√3/2r,
∴√6a/2=√3/2r,
∴r/a=√2.