《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

11. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在AC$边上,连接$BD$,若$\angle ABC= \angle ADB$,$AD = 2$,$AC = 6$,则$AB$的长为(D)

A.3
B.4
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： D

12. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,若$DE// BC$,$\frac{AD}{DB}= 2$,$DE = 6\ cm$,则$BC$的长为(9cm)

A.$9\ cm$
B.$12\ cm$
C.$15\ cm$
D.$18\ cm$

答案： A[提示:在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,DE//BC,
∴ ∠ADE=∠B.
∵ ∠A=∠A,
∴ △ADE∽△ABC,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$.
∵ $\frac{AD}{DB}=2$,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{3}$.
∵ DE=6,
∴ BC=$\frac{3DE}{2}=\frac{3×6}{2}=9$(cm).]

13. 如图,$E为AB$的中点,$\angle ADE= \angle B$,$AB = 12$,$AC = 9$,则$CD$的长为______。

1

答案： 1[提示:
∵ AE=$\frac{1}{2}$AB,AB=12,
∴ AE=$\frac{1}{2}×12=6$.
∵ ∠ADE=∠B,∠A=∠A,
∴ △ADE∽△ABC,
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$,
∴ $\frac{6}{9}=\frac{AD}{12}$,
∴ AD=$\frac{6×12}{9}=8$,
∴ CD=AC - AD=9 - 8=1.]

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D$,$E分别在BC$,$AC$上,且$DC = DE$。
(1)求证：$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$；
(2)若$AB = 5$,$AE = 1$,$DE = 3$,求$BC$的长。

答案：
(1)证明:
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C.
∵ DC=DE,
∴ ∠DEC=∠C,
∴ ∠DEC=∠B.
∵ ∠C=∠C,
∴ △ABC∽△DEC.
(2)解:
∵ AB = AC = 5,AE = 1,
∴ CE = AC - AE = 4.
∵ △ABC∽△DEC,
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{CE}$,即$\frac{5}{3}=\frac{BC}{4}$,解得 BC=$\frac{20}{3}$.

15. 如图,$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$D在BC$上,$E在AC$上,且$\angle ADE = 45^{\circ}$。
(1)求证：$\triangle ABD\backsim\triangle DCE$；
(2)当$\triangle ABD\cong\triangle DCE$时,求$\angle DAB$的度数。

答案：
(1)证明:
∵ ∠BAC=90°,AB=AC,
∴ ∠B=∠C=45°.
∵ ∠ADE=45°,
∴ ∠ADE=∠B.
∵ ∠EDC+∠ADE=∠DAB +∠B,
∴ ∠EDC=∠DAB.又
∵ ∠B=∠C=45°,
∴ △ABD ∽△DCE.
(2)解:
∵ △ABD∽△DCE,
∴ 当△ABD≌△DCE 时,AB = CD.
∵ AB = AC,
∴ CD = AC,
∴ ∠ADC=∠CAD.又
∵ ∠C =∠B = 45°,
∴ ∠ADC =∠CAD = 67.5°.
∵ ∠ADE = 45°,
∴ ∠EDC = 22.5°.
∵ △ABD≌△DCE,
∴ ∠EDC =∠DAB,
∴ ∠DAB = 22.5°.

16. 如图,正方形$ABCD的边长为4$,$E是BC$边的中点,点$P在射线AD$上,过$P作PF\perp AE于F$,设$PA = x$。
(1)求证：$\triangle PFA\backsim\triangle ABE$；
(2)若以$P$,$F$,$E为顶点的三角形也与\triangle ABE$相似,试求$x$的值。

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD//BC,且∠ABE=90°,
∴ ∠PAF=∠AEB.又
∵ PF⊥AE,
∴ ∠PFA=∠ABE=90°,
∴ △PFA∽△ABE.
(2)解:①如图
(1),当△EFP∽△ABE,且∠PEF=∠EAB 时,PE//AB.
∴ 四边形 ABEP 为矩形,
∴ PA=EB=2,即 x=2.②如图
(2),当△PFE∽△ABE,且∠PEF=∠AEB 时,
∵ ∠PAF=∠AEB,
∴ ∠PEF =∠PAF,
∴ PE=PA.
∵ PF⊥AE,
∴ 点 F 为 AE 的中点.
∵ AE=$\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$,
∴ EF=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{5}$.由△PFE∽△ABE 得$\frac{PE}{AE}=\frac{EF}{EB}$,即$\frac{PE}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,可得 PE =5,即 x=5.
∴ 满足条件的 x 的值为 2 或 5.