《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

1.在$\triangle ABC$中,若$\vert\sqrt{2}\sin A - 1\vert + \vert\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos B\vert = 0$,则$\triangle ABC$是等腰直角三角形.

答案： 等腰直角三角形

2.在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$均为锐角,且$(\tan B - \sqrt{3}) \cdot (2\sin A - 1) = 0$,试判定$\triangle ABC$的形状.

答案： 解:在△ABC中,
∵∠A,∠B均为锐角,且(tanB - √3)·(2sinA - 1)=0,
∴tanB - √3=0或2sinA - 1=0.当tanB - √3=0时,tanB=√3,得∠B=60°;当2sinA - 1=0时,sinA = $\frac{1}{2}$,得∠A=30°;当tanB - √3=0且2sinA - 1=0时,得∠B=60°且∠A=30°,
∴∠C=180° - ∠A - ∠B=90°.综上所述,△ABC可能是一个锐角为60°的三角形或一个锐角为30°的三角形,还可能是三个角的度数分别是30°,60°,90°的直角三角形.

3.已知某直角三角形的两边长分别为$6和8$,求该三角形中较小锐角的正弦值.

答案： 解:分两种情况:当斜边长是8时,另一直角边长是$\sqrt{8² - 6²}$ = 2$\sqrt{7}$ ＜ 6,
∴较小锐角的正弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{8}$ = $\frac{\sqrt{7}}{4}$;当两直角边长是6和8时,由勾股定理,得斜边长为10,
∴较小锐角的正弦值为$\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$.综上所述,该三角形中较小锐角的正弦值为$\frac{3}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$.

4.已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的$2$倍,求这个直角三角形中较小锐角的正切值.

答案： 解:①当直角三角形的斜边长等于一条直角边长的2倍时,设直角三角形的斜边长等于2,则一条直角边的长等于1,
∴另一条直角边的长是$\sqrt{2² - 1²}$ = $\sqrt{3}$,
∴这个直角三角形中较小锐角的正切值为1÷$\sqrt{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.②当直角三角形的一条直角边的长等于另一条直角边长的2倍时,设一条直角边的长等于1,另一条直角边的长等于2,
∴这个直角三角形中较小锐角的正切值为1÷2 = $\frac{1}{2}$.综上所述,这个直角三角形中较小锐角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{1}{2}$.

5.在$\triangle ABC$中,$\angle A = 45^{\circ}$,$AB = 4\sqrt{2}$,$BC = \sqrt{17}$,则$AC = $5或3.

答案： 5或3[提示:过B作BH⊥AC于H,①当H在边AC上时,如图
(1),
∵∠A=45°,BH⊥AC,
∴△ABH是等腰直角三角形,
∴AH = BH = $\frac{AB}{\sqrt{2}}$ = 4.在Rt△BHC中,CH = $\sqrt{BC² - BH²}$ = $\sqrt{(\sqrt{17})² - 4²}$ = 1,
∴AC = AH + CH = 4 + 1 = 5.②当H在边AC的延长线上时,如图
(2),同理可得AH = BH = 4,CH = 1,
∴AC = AH - CH = 3.综上,AC的长为5或3.]

6.已知一个三角形一边上的高为$\sqrt{3}$,另两边长分别为$2和2\sqrt{3}$,求这两边的夹角.

答案： 解:①如图
(1),由题意,得AB = 2,AC = 2$\sqrt{3}$,AD = $\sqrt{3}$.在Rt△ABD中,
∵sinB = $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴∠B = 60°.在Rt△ADC中,
∵sinC = $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{1}{2}$,
∴∠C = 30°,
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 30° = 90°,即这两边的夹角为90°.②如图
(2),由题意,得AB = 2$\sqrt{3}$,AC = 2,AD = $\sqrt{3}$.在Rt△ABD中,
∵sinB = $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{1}{2}$,
∴∠B = 30°.在Rt△ADC中,
∵sin∠ACD = $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴∠ACD = 60°,
∴∠BAC = ∠ACD - ∠B = 60° - 30° = 30°,即两边夹角为30°.综上所述,这两边的夹角为90°或30°.

7.已知$\triangle ABC是以AB$为一腰的等腰三角形,$AB = 5$,$\tan\angle BAC = \frac{3}{4}$,则$\triangle ABC$的底边长为$\sqrt{10}$或8.

答案： $\sqrt{10}$或8[提示:①如图
(1),当AC为腰时,过点B作BD⊥AC,
∵tan∠BAC = $\frac{3}{4}$,
∴$\frac{BD}{AD}$ = $\frac{3}{4}$.设BD = 3x,AD = 4x,在Rt△ABD中,AD² + BD² = AB²,即(4x)² + (3x)² = 5²,解得x = 1(舍去负值),
∴AD = 4,BD = 3,
∴CD = AC - AD = 1,
∴BC = $\sqrt{BD² + CD²}$ = $\sqrt{3² + 1²}$ = $\sqrt{10}$.②如图
(2),当BC为腰时,过点B作BD⊥AC,
∵tan∠BAC = $\frac{3}{4}$,
∴$\frac{BD}{AD}$ = $\frac{3}{4}$.设BD = 3x,AD = 4x,在Rt△ABD中,AD² + BD² = AB²,即(4x)² + (3x)² = 5²,解得x = 1(舍去负值),
∴AD = 4,
∴AC = 2AD = 8.综上,△ABC的底边长为$\sqrt{10}$或8.]

8.在$\triangle ABC$中,$AC = 6\sqrt{5}$,点$D为直线AB$上一点,且$AB = 3BD$,直线$CD与直线BC所夹锐角的正切值为\frac{1}{2}$,并且$CD\perp AC$,求$BC$的长.

答案： 解:①如图
(1),当点D在AB的延长线上时,作BE⊥CD,垂足为E,
∵AC⊥CD,
∴AC//BE,
∴$\frac{BE}{AC}$ = $\frac{DB}{DA}$ = $\frac{1}{4}$.
∵AC = 6$\sqrt{5}$,
∴BE = $\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
∵tan∠BCE = $\frac{1}{2}$,
∴EC = 2BE = 3$\sqrt{5}$,
∴BC = $\sqrt{CE² + BE²}$ = $\sqrt{(3\sqrt{5})² + (\frac{3\sqrt{5}}{2})²}$ = $\frac{15}{2}$.②如图
(2),当点D在线段AB上时,作BE⊥CD,交CD的延长线于E.
∵AC//BE,AC = 6$\sqrt{5}$,
∴$\frac{BE}{AC}$ = $\frac{DB}{DA}$ = $\frac{1}{2}$,
∴BE = 3$\sqrt{5}$.
∵tan∠BCE = $\frac{1}{2}$,
∴EC = 2BE = 6$\sqrt{5}$,
∴BC = $\sqrt{CE² + BE²}$ = 15.综上,BC的长为$\frac{15}{2}$或15.