《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

1. (2023·烟台芝罘区期中)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”小明周末在龙潭公园草坪上放风筝,已知风筝拉线长100m且拉线与地面夹角为65°(如图,假设拉线是直的,小明身高忽略不计),则风筝离地面的高度可以表示为(A)

A.$ 100\sin 65^{\circ}m $
B.$ 100\cos 65^{\circ}m $
C.$ 100\tan 65^{\circ}m $
D.$ \frac{100}{\sin 65^{\circ}}m $

答案： A

2. 如图所示的是一座人行天桥,天桥的高CB为10米,坡面CA的坡角为30°,为了方便行人推车过桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面CD的坡角为18°,离原坡脚A点15米的花坛E与新坡脚D点的距离DE大约为多少米？(结果精确到0.01米.参考数据：$ \sin 18^{\circ}\approx 0.31 $,$ \cos 18^{\circ}\approx 0.95 $,$ \tan 18^{\circ}\approx 0.32 $,$ \sqrt{3}\approx 1.73 $,$ \sqrt{2}\approx 1.41 $)
]

答案： 解:在Rt△ABC中，
∵CB = 10米，∠CAB = 30°，
∴AB = √3BC = 10√3≈17.3(米)。在Rt△DBC中，
∵∠CDB = 18°，
∴BD = BC/tan18°≈10/0.32 = 31.25(米)，
∴AD≈13.95米。
∵AE = 15米，
∴DE≈1.05米。
∴花坛E与新坡脚D点的距离DE大约为1.05米。

3. (跨学科题)如图,在外力的作用下,一个滑块沿坡度为$ i = 1:3 $的斜坡向上移动了10m.此时滑块上升的高度是(A)

A.$ \sqrt{10}m $
B.$ \frac{10}{3}m $
C.$ 3\sqrt{10}m $
D.10m

答案： A

4. (2023·烟台蓬莱区期中)如图,为确定某隧道AB的长度,在建设中测量人员在离地面2700m的C处飞机上,测得正前方A处的俯角为60°,BC的坡比为$ 1:\sqrt{3} $,则隧道AB的长为1800√3m. (结果保留根号)
]

答案： 1800√3m[提示:连接AC，由题意得∠MCA = 60° = ∠CAH，
∵BC的坡比为1:√3，
∴∠B = 30°，
∴∠ACB = ∠B = 30°，
∴AB = CA = CH/sin∠CAH = 2700/(√3/2)=1800√3(m)。]

5. 自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多.某地为方便群众步行健身,决定对一段如图所示的坡路进行改造.改造前的斜坡$ AB = 200m $,坡角$ \angle ABE = 30^{\circ} $,将斜坡AB的高度AE降低20m(即$ AC = 20m $)后,斜坡AB改造为斜坡CD,且$ CE:ED = 1:4 $.求斜坡CD的长. (结果保留根号)
]

答案： 解:在Rt△AEB中，∠E = 90°，∠ABE = 30°，AB = 200，则AE = 1/2AB = 100。
∵AC = 20，
∴CE = AE - AC = 100 - 20 = 80。
∵CE:ED = 1:4，
∴ED = 4CE = 320。由勾股定理得CD = √(CE² + ED²)=√(80² + 320²)=80√17(m)。答:斜坡CD的长为80√17m。

6. (教材改编题)某小区开展了“行车安全,方便居民”的活动,对地下车库做了改进.如图,小区原地下车库入口处的斜坡AC长为13m,它的坡度为$ i = 1:2.4 $,$ AB\perp BC $,为了居民行车安全,现将斜坡的坡角改为17°,即$ \angle ADC = 17^{\circ} $(此时点B,C,D在同一直线上).求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离. (结果精确到0.1m,参考数据：$ \tan 17^{\circ}\approx 0.31 $)
]

答案： 解:由题意，得∠ABC = 90°，i = 1:2.4。在Rt△ABC中，i = AB/BC = 5/12，设AB = 5x m，则BC = 12x m，AB² + BC² = AC²，
∴AC = 13x m。
∵AC = 13 m，
∴x = 1，
∴AB = 5 m，BC = 12 m。在Rt△ABD中，tan∠ADC = AB/BD。
∵∠ADC = 17°，AB = 5 m，
∴5/(12 + CD)≈0.31，
∴CD≈4.1(m)。答:斜坡改进后的起点D与原起点C的距离约为4.1 m。