《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

14. 如图,一座厂房屋顶人字架的跨度$AC= 12\ m$,上弦$AB= BC$,$\angle BAC= 25^{\circ }$.若用科学计算器求上弦$AB$的长,则下列按键顺序正确的是(B)

答案： B

15. 如图,为方便行人推车过天桥,某市政府在$10\ m高的天桥两端分别修建了40\ m$长的斜道,用科学计算器计算这条斜道的倾斜角$\angle A$,下列按键顺序正确的是(A)

答案： A

16. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 8$,$AC= 9$,$\angle A= 48^{\circ }$.
(1)求$AB$边上的高；(精确到$0.01$)
(2)求$\angle B$的度数.(精确到$1'$)

答案： 解:
(1)过点C作AB边上的高CH,垂足为H,在Rt△ACH中,sin A=$\frac{CH}{AC}$,
∴CH=AC·sin A=9sin 48°≈6.69.
(2)在Rt△ACH中,cos A=$\frac{AH}{AC}$,
∴AH=AC·cos A=9cos 48°.在Rt△BCH中,tan B=$\frac{CH}{BH}$=$\frac{CH}{AB-AH}$=$\frac{9sin48°}{8-9cos48°}$≈3.382,
∴∠B≈73°32'.

17. 如图,已知$\angle ABC和射线BD上一点P$(点$P与点B$不重合),且点$P到BA$,$BC的距离为PE$,$PF$.
(1)若$\angle EBP= 40^{\circ }$,$\angle FBP= 20^{\circ }$,$PB= m$,试比较$PE$,$PF$的大小；
(2)若$\angle EBP= \alpha$,$\angle FBP= \beta$,$\alpha$,$\beta$都是锐角,且$\alpha ＞\beta$.试判断$PE$,$PF$的大小.

答案： 解:
(1)在Rt△BPE中,sin∠EBP=$\frac{PE}{BP}$=sin 40°.在Rt△BPF中,sin∠FBP=$\frac{PF}{BP}$=sin 20°.又sin 40°＞sin 20°,
∴PE＞PF.
(2)根据
(1)得sin∠EBP=$\frac{PE}{BP}$=sin α,sin∠FBP=$\frac{PF}{BP}$=sin β,又
∵α＞β,
∴sin α＞sin β.
∴PE＞PF.

18. (1)通过计算(可用计算器),比较下列各组数的大小,并提出你的猜想：
①$\sin 30^{\circ }$,$2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$；
②$\sin 36^{\circ }$,$2\sin 18^{\circ }\cos 18^{\circ }$；
③$\sin 45^{\circ }$,$2\sin 22.5^{\circ }\cos 22.5^{\circ }$；
④$\sin 60^{\circ }$,$2\sin 30^{\circ }\cos 30^{\circ }$；
⑤$\sin 80^{\circ }$,$2\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }$.
猜想：已知$0^{\circ }＜\alpha ＜45^{\circ }$,则$\sin 2\alpha与2\sin \alpha \cos \alpha$的大小关系.
(2)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 1$,$\angle BAC= 2\alpha$,请根据提示,利用面积方法验证结论.

答案： 解:
(1)①sin 30°=2sin 15°cos 15°;②sin 36°=2sin 18°cos 18°;③sin 45°=2sin 22.5°cos 22.5°;④sin 60°=2sin 30°cos 30°;⑤sin 80°=2sin 40°cos 40°.已知0°＜α＜45°,则sin 2α=2sin α·cos α.
(2)验证:$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB$·sin 2α·AC,$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×2ABsin\alpha$·ACcos α,
∴sin 2α=2sin αcos α.