《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

12. (2023·泰安中考)如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$D$,$C$ 是 $\odot O$ 上的点,$\angle ADC = 115^{\circ}$,则 $\angle BAC$ 的度数是 (A)

A.$25^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： A[提示:连接OC,
∵∠ADC=115°,
∴$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆心角为2×115°=230°,
∴∠BOC=230°−180°=50°,
∴∠BAC =$\frac{1}{2}$∠BOC=25°.]

13. (2023·吉林中考)如图,$AB$,$AC$ 是 $\odot O$ 的弦,$OB$,$OC$ 是 $\odot O$ 的半径,点 $P$ 为 $OB$ 上任意一点(点 $P$ 不与点 $B$ 重合),连接 $CP$. 若 $\angle BAC = 70^{\circ}$,则 $\angle BPC$ 的度数可能是 (D)

A.$70^{\circ}$
B.$105^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$155^{\circ}$

答案： D[提示:连接BC,
∵∠BAC=70°,
∴∠BOC=2∠BAC=140°.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{180°−140°}{2}$=20°.
∵点P为OB上任意一点(点P不与点B重合),
∴0°≤∠OCP＜20°.
∵∠BPC=∠BOC+∠OCP=140°+∠OCP,
∴140°≤∠BPC＜160°.]

14. (2023·滨州三模)如图,点 $A$,$B$,$C$,$D$ 在 $\odot O$ 上,$OA \perp BC$,垂足为 $E$. 若 $\angle ADC = 30^{\circ}$,$AE = 2$,则 $BC$ 的长度为______.

答案：
4$\sqrt{3}$[提示:连接AB,OC,如图，
∵∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠B =$\frac{1}{2}$∠AOC,
∴∠B=∠ADC=30°,
∴BE=$\sqrt{3}$AE=2$\sqrt{3}$,
∴BC=2BE=4$\sqrt{3}$.]

15. 如图,在 $\odot O$ 中,弦 $AB$,$CD$ 相交于点 $E$,$l_{\overset{\frown}{AC}} = 2l_{\overset{\frown}{BD}}$. 若 $\angle DEB = 69^{\circ}$,则劣弧 $\overset{\frown}{BD}$ 的度数为______$^{\circ}$.

答案：
46[提示:如图,连接OB,OD,BC,OA,OC,
∵∠DEB=69°,∠CEB+∠DEB=180°,
∴∠CEB=111°.
∵$\overset{\frown}{AC}$=2$\overset{\frown}{BD}$,
∴∠AOC=2∠BOD,∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BOD,
∴∠ABC=2∠BCD.
∵∠ABC+∠BCD=∠BED,
∴3∠BCD=69°,
∴∠BCD=23°,
∴∠BOD=2∠BCD=46°,
∴劣弧$\overset{\frown}{BD}$的度数为46°.]

16. 如图,$\triangle ABC$ 各顶点均在 $\odot O$ 上,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AB = AC = 4$,求 $\odot O$ 的直径.

答案：
解:如图，连接OA,OB.
∵∠BAC=120°,AB=AC=4,
∴∠C=30°,
∴∠BOA=60°.又
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=4,
∴⊙O的直径为8.

17. 如图,在 $\odot O$ 中,$MN$ 为直径,$AB$ 为弦,且 $MN \perp AB$,垂足为 $C$.
(1)若 $OA = 5\ cm$,$AB = 8\ cm$,求 $BM$ 的长度；
(2)若 $\angle AOM = 3 \angle BMN$,则 $\angle ABM = $54$^{\circ}$.

(1)
∵MN⊥AB,OA=5cm,AB=8cm,
∴AC=BC=4cm,∠OCA=∠OCB=90°,OM=5cm,
∴OC=$\sqrt{OA^2−AC^2}$=$\sqrt{5^2−4^2}$=3(cm),
∴MC=OM+OC=5+3=8(cm),
∴BM=$\sqrt{MC^2+BC^2}$=$\sqrt{8^2+4^2}$=4$\sqrt{5}$(cm),即BM的长度为4$\sqrt{5}$cm.

答案：
(1)
∵MN⊥AB,OA=5cm,AB=8cm,
∴AC=BC=4cm,∠OCA=∠OCB=90°,OM=5cm,
∴OC=$\sqrt{OA^2−AC^2}$=$\sqrt{5^2−4^2}$=3(cm),
∴MC=OM+OC=5+3=8(cm),
∴BM=$\sqrt{MC^2+BC^2}$=$\sqrt{8^2+4^2}$=4$\sqrt{5}$(cm),即BM的长度为4$\sqrt{5}$cm.
(2)54

18. 如图,四边形 $OABC$ 是平行四边形,点 $A$,$B$,$C$ 在 $\odot O$ 上,$P$ 为 $\overset{\frown}{APC}$ 上一点,连接 $AP$,$CP$,求 $\angle P$ 的度数.

答案： 解:连接OB,
∵四边形OABC是平行四边形，且OA=OC，
∴▱OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC.
∵OA=OB=OC,
∴△OAB和△OBC是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°,
∴∠APC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°.