《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

1. 如图,四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,$AC$ 是 $\odot O$ 的直径,延长 $AC$ 与过点 $D$ 的直线相交于点 $E$,已知 $\angle E = 2\angle BAC$,$\angle DAB = 45^{\circ}$。求证：$DE$ 与 $\odot O$ 相切。

答案： 证明:连接OD,OB，
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∴∠BOC =∠OAB+∠OBA=2∠BAC.
∵∠E=2∠BAC,
∴∠E=∠BOC,
∴DE//OB,
∴∠ODE+∠DOB=180°.
∵∠BAD=45°,
∴∠DOB=2∠BAD=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切.

2. 如图,四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\odot O$ 是 $\triangle ACD$ 的外接圆,$\angle CAP = \angle B$。求证：直线 $AP$ 与 $\odot O$ 相切。

答案：
证明:如图，连接AO并延长AO交⊙O于E,连接CE,
∴∠ACE=90°.
∴∠E+∠EAC=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D.
∵ $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AC}$,
∴∠E=∠D.
∵∠CAP=∠B,
∴∠CAP =∠E.
∵∠E+∠EAC=90°,
∴∠CAP+∠EAC=90°.
∴∠OAP=90°.
∴OA⊥AP.
∵A在⊙O上,
∴PA是⊙O的切线.

3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$。以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 与线段 $BC$ 交于点 $D$,过点 $D$ 作 $DE \perp AC$,垂足为 $E$,$ED$ 的延长线与 $AB$ 的延长线交于点 $P$。
(1) 求证：$PE$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 若 $\odot O$ 的半径为 $6$,$\angle P = 30^{\circ}$,求 $CE$ 的长。

答案：
(1)证明:连接OD,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∴∠ACB=∠ODB,
∴OD//AC;
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,即PE⊥OD,
∵OD是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线.
(2)解:连接AD,
∵DE⊥AC,
∴∠AEP=90°.
∵∠P=30°,
∴∠PAE=60°.
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠C=60°.
∵⊙O的半径为6,
∴BC=AB=12.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴BD =CD=$\frac{1}{2}$BC=6.
∵在Rt△CDE中,∠CDE=90°−∠C=30°,
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=3.

4. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,过点 $A$ 作 $\odot O$ 的切线 $AC$,点 $P$ 是射线 $AC$ 上的动点,连接 $OP$,过点 $B$ 作 $BD // OP$,交 $\odot O$ 于点 $D$,连接 $PD$。
(1) 求证：$PD$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 当四边形 $POBD$ 是平行四边形时,求 $\angle APO$ 的度数。

答案：
(1)证明:连接OD,
∵PA切⊙O于A,
∴PA⊥AB,即∠PAO =90°.
∵OP//BD,
∴∠DBO=∠AOP,∠BDO=∠DOP.
∵OD=OB,
∴∠BDO=∠DBO,
∴∠DOP=∠AOP.在△AOP和△DOP中,$\left\{\begin{array}{l} AO = DO,\\ ∠AOP = ∠DOP,\\ PO = PO,\end{array}\right.$
∴△AOP≌△DOP,
∴∠PDO=∠PAO.
∵∠PAO=90°,
∴∠PDO=90°,即OD ⊥PD,
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线.
(2)解:由
(1)知△AOP≌△DOP,
∴PA=PD.
∵四边形POBD是平行四边形,
∴PD=OB.
∵OB=OA,
∴PA=OA,
∴∠APO=∠AOP.
∵∠PAO=90°,
∴∠APO=∠AOP=45°.

5. 如图,$\triangle ABC$ 为等腰三角形,$O$ 是底边 $BC$ 的中点,腰 $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $D$。
(1) 求证：腰 $AC$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 若 $\angle BAC = 120^{\circ}$,$BC = 12$,求 $\odot O$ 的半径。

答案：

(1)证明:如图，过点O作OE⊥AC于点E，连接OD,OA.
∵AB与⊙O相切于点D,
∴AB⊥OD.
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE =OD,即OE是⊙O的半径.
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE,
∴腰AC是⊙O的切线.
(2)解:
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,BC=12,
∴AO ⊥BC,BO=6.
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=30°.
∵BO =6,∠B=30°,OD⊥AB,
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×6 =3,
∴⊙O 的半径是3.