《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册青岛版》

10. 如图,$\triangle ABC和\triangle DEF是以点O$为位似中心的位似图形,$OA:AD = 2:3$,$\triangle ABC的周长为8$,则$\triangle DEF$的周长为(C)

A.12
B.18
C.20
D.50

答案： C

11. 圆桌上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影,如图,已知桌面的直径为$1.2m$,桌面距离地面$1m$,若灯泡距离地面$3m$,则地面上阴影部分的面积为($0.81\pi m^2$)

A.$0.36\pi m^{2}$
B.$0.81\pi m^{2}$
C.$2\pi m^{2}$
D.$3.24\pi m^{2}$

答案： B[提示:由桌面与地面平行,可得△ADE∽△ABC,
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{3 - 1}{3}$,即$\frac{1.2}{BC}=\frac{2}{3}$,解得BC=1.8,
∴ 地面上阴影部分的面积=$\pi\cdot(\frac{1.8}{2})^2=0.81\pi(m^2)$.]

12. 如图,如果两个相似多边形任意一组对应顶点$P,P'所在的直线都经过同一点O$,且有$OP'= k\cdot OP(k\neq0)$,那么我们把这样的两个多边形叫做位似多边形,点$O$叫做位似中心.已知$\triangle ABC与\triangle A'B'C'是关于点O$的位似三角形,$OA' = 3OA$,则$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$的周长之比是1:3.

答案： 1:3[提示:
∵ △ABC与△A'B'C'是关于点O的位似三角形,
∴ △ABC∽△A'B'C'.
∵ OA'=3OA,
∴ △ABC与△A'B'C'的周长之比是OA:OA'=1:3.]

13. 如图,$\triangle OAB$是等腰直角三角形,$\angle A = 90^{\circ}$,$AO = AB$.以斜边$OB$为直角边,按顺时针方向画等腰直角三角形$OBC$,再以同样的方法画等腰直角三角形$OCD$.
(1)按照此种要求和顺序画等腰直角三角形$ODE和等腰直角三角形OEF$;
(2)在完成(1)后,图中有位似图形吗?若有,请算出较小三角形与较大三角形的相似比.

答案：

(1)如图所示.
(2)有,△OAB与△OEF是位似图形.设OA=a,
∵ ∠A=90°,AO=AB,
∴ OB=$\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{a^2 + a^2}=\sqrt{2}a$.同理OC=$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}a = 2a$,OD=$\sqrt{2}\cdot2a = 2\sqrt{2}a$,OE=$\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}a = 4a$.
∴ $\frac{OA}{OE}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}$,
∴ 较小三角形与较大三角形的相似比为1:4.

14. 如图,在正方形网格中,点$A,B,C$都在格点上,利用格点按要求完成下列作图.(要求仅用无刻度的直尺,不要求写画法,保留必要的作图痕迹)
(1)在图①中,以$C$为位似中心,相似比为$1:2$,在格点上将$\triangle ABC放大得到\triangle A_1B_1C_1$,请画出$\triangle A_1B_1C_1$;
(2)在图②中,线段$AB上找一点M$,利用格点作图使得$\frac{AM}{BM} = \frac{3}{2}$;
(3)在图③中,利用格点在$AC边上找一点D$,使得$\triangle ABD\sim\triangle ACB$.

答案：

(1)如图①,△A₁B₁C₁为所作.
(2)如图②,点M为所作.
(3)如图③,点D为所作.

15. (素养题)如图是由小正方形组成的$8×8$网格,每个小正方形的顶点叫做格点.$A,B,C$三点是格点,点$P在BC$上,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)在图①中,将线段$AB沿BC$的方向平移,使点$B与点C$重合,画出平移后的线段$CD$;再将$PC绕AC的中点顺时针旋转180^{\circ}$,得到$GA$,画出线段$GA$;
(2)在图②中,连接$AP$,将$\triangle APC以C为位似中心缩小为原来的\frac{1}{2}得到\triangle EFC$,画出$\triangle EFC$;
(3)在图③中,在$AC上画一点M$,在$AB上画一点N$,使得$PM + PN$最小.

答案：

(1)如图①,线段AG即为所求.
(2)如图②,△EFC 即为所求.
(3)如图③，点M,点N即为所求.